Grafikte öteleme

YKS TYT
1

1746539419825892773833172938418
1746539419825892773833172938418720×960 21.6 KB

2

Gönderideki Soru ve Çözüm

Soru:
Dik koordinat düzleminde verilen

f(x) = x^2 - 4x + 9

fonksiyonunun grafiği m birim sağa ve n birim aşağı ötelendiğinde

g(x) = x^2 - 8x + 15

fonksiyonunun grafiği elde ediliyor. Buna göre, |m| + |n| toplamının değeri kaçtır?

Çözüm

Öteleme işlemini iki parçaya ayıralım:

  • Sağa Öteleme (m birim): Fonksiyon sağa m birim ötelendiğinde, fonksiyonun içinde x yerine (x - m) yazılır.
  • Aşağıya Öteleme (n birim): Fonksiyon aşağıya n birim ötelendiğinde, fonksiyondan n değeri çıkarılır.

1. İlk Fonksiyon ve Sağ Öteleme (m birim sağa):

f(x) = x^2 - 4x + 9 fonksiyonunda, sağa m birim öteleme yapıldığında:

f(x - m) = (x - m)^2 - 4(x - m) + 9

Genelleştirip açalım:

(x - m)^2 = x^2 - 2mx + m^2, \quad -4(x - m) = -4x + 4m

Bu ifadeyi yerine yazalım:

f(x - m) = x^2 - 2mx + m^2 - 4x + 4m + 9
f(x - m) = x^2 - (2m + 4)x + (m^2 + 4m + 9)

2. Yeni Fonksiyon ve Aşağı Öteleme (n birim aşağıya):

Bir de aşağıya doğru n birim ötelendiğinde, n değerini çıkarırız:

g(x) = f(x - m) - n

Sonuç olarak:

g(x) = x^2 - (2m + 4)x + (m^2 + 4m + 9 - n)

3. Verilen Fonksiyonu Eşleştirme:

Elimizdeki ötelemeler sonunda elde edilen fonksiyon:

g(x) = x^2 - 8x + 15

Bu durumda, katsayıları ve sabit terimi eşleştirelim:

  • $x$’in katsayısından:
- (2m + 4) = -8
2m + 4 = 8 \implies 2m = 4 \implies m = 2
  • Sabit terimden:
m^2 + 4m + 9 - n = 15
(2)^2 + 4(2) + 9 - n = 15
4 + 8 + 9 - n = 15 \implies 21 - n = 15 \implies n = 6

4. Sonuç (|m| + |n|):

|m| + |n| = |2| + |6| = 2 + 6 = 8

Cevap: D) 8

@serap_gundogan

3

Grafikte öteleme sorusunun çözümü

Soru:
Dik koordinat düzleminde verilen

f(x) = x^2 - 4x + 9

fonksiyonunun grafiği m birim sağa ve n birim aşağı ötelenerek

g(x) = x^2 - 8x + 15

fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.
Buna göre, |m| + |n| toplamının değeri kaçtır?

1. Grafik Öteleme Kuralları

  • Sağa m birim ötelenirse: f(x) \to f(x-m)
  • Aşağı n birim ötelenirse: f(x) \to f(x) - n
  • İkisini birleştirirsek: f(x) \to f(x-m) - n

2. Fonksiyon Dönüşümü Uygulaması

Ötelemeden sonra elde edilen fonksiyon:

g(x) = f(x-m) - n

f(x) = x^2 - 4x + 9 olduğuna göre:

f(x-m) = (x-m)^2 - 4(x-m) + 9

Bunu açarsak:
(
(x-m)^2 = x^2 - 2mx + m^2
)
(
-4(x-m) = -4x + 4m
)

Birleştiriyoruz:

f(x-m) = x^2 - 2mx + m^2 - 4x + 4m + 9

-n ile topluyoruz:

g(x) = x^2 - 2mx + m^2 - 4x + 4m + 9 - n

Bize g(x) = x^2 - 8x + 15 verilmiş.

3. Katsayıları Eşitleyelim

x’li terimlerin katsayısına bakalım:

Bizde: -2m - 4
Verilen: -8
Denklem:

-2m - 4 = -8 \implies -2m = -4 \implies m = 2

Sabit terimi eşitleyelim:

Bizde: m^2 + 4m + 9 - n
Verilen: 15
Denklem:

m^2 + 4m + 9 - n = 15

m = 2 bulduk, yerine yazalım:

(2)^2 + 4 \cdot 2 + 9 - n = 15 \\ 4 + 8 + 9 - n = 15 \\ 21 - n = 15 \implies n = 6

4. Sonuç ve Mutlak Değer Toplamı

|m| + |n| = |2| + |6| = 2 + 6 = 8

Cevap: 8

  • m = 2 (2 birim sağa)
  • n = 6 (6 birim aşağı)
  • |m| + |n| = 8

Doğru seçenek: D şıkkı.

Ekstra bilgi:
Eğer fonksiyon $f(x)$’in grafiği m birim sağa ötelenirse, x yerine (x-m) yazılır; n birim aşağı ötelenirse, n çıkarılır.

@serap_gundogan

4

Dik koordinat düzleminde verilen f(x) = x² – 4x + 9 fonksiyonunun, m birim sağa ve n birim aşağı ötelendikten sonra g(x) = x² – 8x + 15 olduğu durumda, |m| + |n| değeri nedir?

Answer:

Bu tür öteleme problemlerinde g(x), f(x) fonksiyonunun (m, n) kadar ötelendiği yeni şeklini ifade eder. “m birim sağa öteleme” x → (x – m) ile, “n birim aşağı öteleme” de +9 sabitini (örneğin) –n şeklinde değiştirmekle elde edilir. Formül olarak:

g(x) = f(x – m) – n

f(x) = x² – 4x + 9 verildiği için:
f(x – m) = (x – m)² – 4(x – m) + 9
= x² – 2mx + m² – 4x + 4m + 9

Bunu –n ile de kaydırınca:
g(x) = [x² – 2mx + m² – 4x + 4m + 9] – n
= x² + (–2m – 4)x + [m² + 4m + 9 – n]

Bu, x² – 8x + 15 ifadesine eşit olmalıdır. Katsayıları karşılaştıralım:

  1. x’in katsayısı: (–2m – 4) = –8
    –2m – 4 = –8
    –2m = –4 → m = 2

  2. Sabit terim: (m² + 4m + 9 – n) = 15
    m = 2 olduğu için:
    2² + 4(2) + 9 – n = 15
    4 + 8 + 9 – n = 15
    21 – n = 15 → n = 6

Burada “m birim sağa” dendiğinde m=2 (pozitif), “n birim aşağı” dendiğinde n=6 (pozitif, ama yön zaten aşağı). Sonuç olarak:

|m| + |n| = 2 + 6 = 8

@serap_gundogan

5
  1. soruda verilen f(x)=x²–4x+9 fonksiyonunun grafiğini “m birim sağa” ve “n birim aşağı” öteleyince elde edilen g(x) fonksiyonu:

g(x)=x²–8x+15

oluyor. Bir eğriyi sağa m birim ve aşağı n birim kaydırmanın karşılığı:

g(x)=f(x–m)–n

eşitliğidir. Buna göre adımlar:

  1. f(x–m)–n ifadesini açalım:
    f(x–m)–n
    = (x–m)² – 4(x–m) + 9 – n
    = x² – 2m x + m² –4x +4m +9 –n
    = x² + (–2m–4)x + (m²+4m+9–n)

  2. Bu katsayıları g(x)=x²–8x+15 ile karşılaştıralım:
    –2m–4 = –8 ⇒ –2m = –4 ⇒ m = 2
    m²+4m+9–n = 15
    ⇒ 2² +4·2 +9 – n =15
    ⇒ 4+8+9 – n =15
    ⇒ 21 – n =15 ⇒ n = 6

  3. İstenen değer |m|+|n| = |2| + |6| = 2 + 6 = 8

Sonuç olarak, |m| + |n| = 8.