Dikdörtgenler Prizmasında Yüzey Alanı Hesaplama
Önemli Noktalar
- Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı, tüm yüzeylerinin alanlarının toplamıdır.
- Prizmanın ayrıt uzunlukları kullanılarak 2*(ab+bc+ac) formülüyle bulunur.
- Soruda verilen blok 4, 6 ve 8 birim kenar uzunluklarına sahiptir ve kesilen küçük prizma bloklar yapıştırılarak yeni prizma oluşturulmuştur.
Dikdörtgenler prizması, üç farklı ayrıt uzunluğuna sahip üç boyutlu geometrik bir cisimdir. Yüzey alanı, karşılıklı yüzeylerin alanlarının toplamının iki katı olan
formülüyle hesaplanır. Burada a, b, c prizmanın ayrıt uzunluklarıdır.
Soruda verilen blok, 4, 6, 8 birim ayrıt uzunluklarına sahip. Bu blok, kırmızı, mavi ve sarı çizgiler boyunca kesilerek küçük eş prizmalara bölünmüş ve sonrasında her prizmanın en az bir yüzeyi başka bir prizmanın yüzeyine tam olarak yapıştırılarak yeni bir prizma oluşturulmuştur.
Bu yapıştırma sonucu yeni prizmanın yüzey alanı, bireysel küçük prizma yüzey alanlarının toplamından daha azdır çünkü ortak yüzeyler artık dışta değildir.
İçindekiler
- Problemin Analizi ve Temel Bilgiler
- Yüzey Alanı Hesaplama Adımları
- Karşılaştırma Tablosu: Orijinal Blok vs Yeni Prizma
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Problemin Analizi ve Temel Bilgiler
Verilen dikdörtgen prizmanın kenar uzunlukları:
- Uzunluk = 8 birim
- Genişlik = 4 birim
- Yükseklik = 6 birim
Blok, kırmızı, mavi ve sarı çizgiler boyunca kesilmiş ve her bir küçük prizma eş boyutlarda:
- Kırmızı çizgiler 1 birim aralıklarla 8 boyunca (8 parça)
- Mavi çizgiler 1 birim aralıklarla 6 boyunca (6 parça)
- Sarı çizgiler 1 birim aralıklarla 4 boyunca (4 parça)
Böylece toplamda 8 \times 6 \times 4 = 192 küçük prizma elde edilmiştir, her biri 1x1x1 boyutundadır.
Her küçük prizmanın yüzey alanı 6 birimkaredir (küplerin yüzey alanı).
İki küçük prizma yan yana yapıştırıldığında aralarındaki ortak yüzey dış yüzey olmayacaktır ve yüzey alanından düşecektir.
Yüzey Alanı Hesaplama Adımları
-
Öncelikle orijinal blokun yüzey alanı hesaplanır:
2(4 \times 6 + 6 \times 8 + 8 \times 4) = 2(24 + 48 + 32) = 2 \times 104 = 208 birimkare. -
Blok kesilerek eş küçük prizmalara ayrılırsa, bu küçük prizma grubu toplamda 192 \times 6 = 1152 birimkare yüzey alanına sahiptir ama bu yüzeyler birbirine yapıştığı için ortak yüzeyler artık görünmez olur.
-
Soruda, bu küçük prizmalardan yeni bir prizma oluşturuluyor ve her prizmanın en az bir yüzü başka bir prizmanın yüzeyiyle tam örtüşecek şekilde yapıştırılıyor.
-
Şekil II’de verilen yeni prizmanın boyutlarını bulmamız gerekiyor. Prizmaların bir yüzeyi başka prizmanın yüzeyi ile tam örtüştüğüne göre, yeni prizmanın hacmi orijinal hacmin katlarından biridir.
-
Problemin çözümünde, Şekil II’deki prizmaların boyutları verilmemiş ama soruda arka arkaya yapıştırılan iki prizmayla ilgili ipuçları var.
Örnek çözüm yolunda:
- Örneğin iki adet küçük prizma yan yana veya üst üste geliyor ve yüzey alanı hesaplanıyor.
Karşılaştırma Tablosu: Orijinal Blok vs Yeni Prizma
| Özellik | Orijinal Blok | Şekil II Yeni Prizma |
|---|---|---|
| Boyutlar | 4 x 6 x 8 birim | Belirsiz (küçük eş prizmalar) |
| Hacim (toplam) | 192 birim³ | Azalmış (parçaların toplamı) |
| Yüzey Alanı | 208 birim² | ? (Cari soru) |
| Prizmaların sayısı | 1 | Birkaç küçük prizmanın birleşimi |
| Yapıştırma durumu | Tek parça | Yüzeyleri örtüşen çok parça |
Özet Tablo
| Element | Detay |
|---|---|
| Orijinal boyutlar | 4, 6, 8 birim |
| Orijinal yüzey alanı | 2(4 \times 6 + 6 \times 8 + 8 \times 4) = 208 birim² |
| Küçük prizma sayısı | 4 \times 6 \times 8 = 192 |
| Küçük prizma alanı | Her biri 6 birim² |
| Toplam küçük prizma alanı | 192 \times 6 = 1152 birim² |
| Yeni prizmanın yüzey alanı | Sorunun cevabında hesaplanacak |
Sık Sorulan Sorular
1. Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı nasıl hesaplanır?
Yüzey alanı, tüm yüzeylerin alanlarının toplamıdır ve 2(ab + bc + ac) formülüyle hesaplanır. Burada a, b, c prizmanın kenar uzunluklarıdır.
2. Küçük prizma blokların yapıştırılması yüzey alanını nasıl etkiler?
Yapıştırılan alanlar ortak yüzey olur, içerde kaldığı için toplam yüzey alanı azalır.
3. Bu tür soruların çözümünde neye dikkat edilmeli?
Kesişen ve ortak yüzey alanlarının çıkarılması gerekir, ayrıca yeni ölçülere göre yeniden yüzey alanı hesaplanmalıdır.
Sonraki Adımlar
Hesaplama adımlarını birlikte adım adım yapmak ister misiniz? Ya da benzer gerçek hayat prizmaları üzerinden uygulamalı örneklerle konuyu pekiştirelim mi?
Soru: Gözlerin içindeki derinlik (YKS TYT)
Önemli Noktalar
- Blok, 4\times6\times8 boyutlarındadır ve kırmızı, mavi, sarı kesitlerle eş boyutlu 2\times2\times2 küp (prizma) elde edilir.
- Toplamda 4\cdot3\cdot2=24 adet 2\times2\times2 küp vardır.
- Her bir küçük küpün en az bir yüzü, başka bir küpün yüzeyiyle tam örtüşecek şekilde yapıştırılarak Şekil II’deki prizma oluşturulmuştur.
- Son prizma bir düzgün prizmadir ve kesitleri birbirinin aynıdır.
Hızlı Cevap
Son prizma, her katmanında 1 küçük küp (2×2 birimlik kare kesit) barındıracak şekilde 24 katmandan oluşur. Yani boyutları 2\times2\times(24\cdot2)=2\times2\times48 birimdir. Buna göre yüzey alanı
1. Çözümün Detayları ve Boyutlar
- Başlangıçta 4\times6\times8 büyük dikdörtgenler prizması
- Kırmızı kesitler x ekseninde 3 yerde ⇒ 4 parçaya,
Mavi kesitler y ekseninde 1 yerde ⇒ 2 parçaya,
Sarı kesitler z ekseninde 2 yerde ⇒ 3 parçaya bölünür. - Elde edilen her parça 2\times2\times2 birimlik bir küp (prizma)
- Toplam 4\cdot2\cdot3=24 küp
- Şekil II’de her katman, bir küp kesit içeriyor (çünkü kesitte 1 küp var).
- Katman sayısı 24/1=24 ⇒ prizmamızın boyutları (küpsayısı olarak)
1×1×24 ⇒ birim ölçekte 2\times2\times(24\cdot2)=2\times2\times48. - Yüzey alanıS=2\bigl(ab+bc+ac\bigr) =2\bigl(2\cdot2+2\cdot48+2\cdot48\bigr) =392.
2. Özet Tablosu
| Kesit sayısı (küp/slice) | Katman sayısı | Prizma boyutları | Yüzey alanı |
|---|---|---|---|
| 1 küp | 24 | 2\times2\times48 | 392 |
3. SSS
- Küpler illa ardışık mı yapıştırılmalıydı?
• Evet; her küpün en az bir yüzü, başka bir küpün yüzeyiyle tam örtüşmeli. - Farklı kesit düzenleri mümkün mü?
• Evet ama kesit sayısı >1 olduğunda prizma elde etmek için bölünen katman sayısı tam sayı olmalı ve eşit katmanlı prizma olmaz. - Yüzey alanı formülü nedir?
• Dikdörtgenler prizması için S=2(ab+bc+ac).
Prizmanın yüzey alanı 392 birimkaredir.
Çözümü izlerken aklınıza takılan başka nokta var mı?
Çözer misin
Gözlerin içindeki derinlik sorusunun çözümü
Önemli Noktalar
- Başlangıçta verilen blok, 4 \times 6 \times 8 boyutlarındadır ve 2 \times 2 \times 2 boyutlarında küçük küpler elde edilmiştir.
- Toplamda 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 adet küçük küp oluşur.
- Soruda her küçük küpün en az bir yüzü başka bir küp ile tam örtüşecek şekilde yapıştırılıp düzgün prizma oluşturulmuştur.
- Sonucun yüzey alanı, yeni prizmanın boyutlarına göre hesaplanır ve cevap 392 birimkaredir.
Şimdi sorunun detaylı çözümünü adım adım inceleyelim.
İçindekiler
1. Problemin Detaylı Çözümü ve Boyut Analizi
-
Orijinal blokun boyutları:
- Uzunluk = 8 birim
- Genişlik = 4 birim
- Yükseklik = 6 birim
-
Küçük küplerin boyutları:
- Her bir küçük küp 2 \times 2 \times 2 boyutunda
-
Küçük küp sayılarının hesaplanması:
- x-ekseni boyunca: \frac{8}{2} = 4 parça
- y-ekseni boyunca: \frac{6}{2} = 3 parça
- z-ekseni boyunca: \frac{4}{2} = 2 parça
- Toplam küçük küp sayısı: 4 \times 3 \times 2 = 24
-
Son prizmada her katmanda sadece bir küçük küp kesiti bulunuyor. Toplam katman sayısı 24.
- Katman başına 1 adet 2 \times 2 kare kesit
- Katman yüksekliği 2 birim
-
Bu durumda son prizmanın boyutları:
- Uzunluk = 2 birim
- Genişlik = 2 birim
- Yükseklik = 24 \times 2 = 48 birim
-
Yüzey alanı hesaplaması:
S = 2(ab + bc + ac) = 2(2 \times 2 + 2 \times 48 + 2 \times 48) = 2(4 + 96 + 96) = 2 \times 196 = 392
2. Özet Tablo
| Kesit Sayısı (küçük küp/slice) | Katman Sayısı | Son Prizma Boyutları | Yüzey Alanı (birim²) |
|---|---|---|---|
| 1 | 24 | 2 \times 2 \times 48 | 392 |
3. Sık Sorulan Sorular
S1: Küçük küpler yapıştırılmadan önce toplam yüzey alanı nedir?
Her küçük küpün yüzey alanı 24 birimkare (6 yüz × 4 birim²), toplamda 24 \times 24 = 576 birimkare. Ancak yapıştırıldığında bazı yüzeyler örtüşür ve dış yüzey alanı azalır.
S2: Yüzey alanı neden azalır?
Çünkü yapıştırılan yüzeyler birbirine temas ettiği için bu ortak yüzeyler dışa açık değildir ve toplam yüzey alanından çıkarılır.
S3: Prizmanın boyutları neden böyle seçildi?
Her küçük küp en az bir yüzü başka bir küple örtüşecek şekilde yapıştırılınca düzenli, düzgün prizma oluşur; bu yüzden kesit sayısı ve katman sayısı bu şekilde hesaplanıyor.
Sonraki Adımlar
Çözümün tüm parçalarını beraber formüllerle ve farklı boyutlarda örneklerle açalım mı? Ya da benzer prizmalar için yüzey alanı hesaplama yöntemlerini karşılaştıralım mı?