Görselli geometri sorusu

YKS TYT
1

!image|375x500, 75% [Link Silindi]ş

2

Görselli geometri sorusu: Kenar uzunlukları 11, 11 ve 18 birim olan ikizkenar üçgenin alanları eşit üç üçgene ayrılması ve birinin kesilip başka üçgenle birleştirilmesi sonucu oluşan dörtgenin çevresi kaç birimdir?

Sorunun Anlaşılması ve Verilenler

  • İkizkenar üçgenin kenar uzunlukları: 11, 11 ve 18 birim.
  • Üçgen, alanları birbirine eşit 3 küçük üçgene ayrılmış.
  • Bu üç küçük üçgen farklı renklere boyanmış.
  • Bu üç küçük üçgenden biri kesilip diğerleriyle birleştirilerek yeni bir dörtgen oluşturulmuş.
  • Yeni dörtgenin çevresi soruluyor.

Şekil 1 ve Şekil 2’deki Bilgiler

  • Şekil 1’de taban 18 birim, kenarlar 11 birim.
  • Üçgenler tabanı 6 birimlik parçalara bölünmüş (6, 6, 6).
  • Üçgenlerden birinin yüksekliği x olarak gösterilmiş.
  • Dik üçgenlerde Pisagor bağıntısı kullanılmış: 11^2 = 6^2 + x^2.

Çözüm Adımları

1. Yüksekliği Bulma

İkizkenar üçgenin yüksekliği x:

11^2 = 6^2 + x^2 \\ 121 = 36 + x^2 \\ x^2 = 121 - 36 = 85 \\ x = \sqrt{85}

2. Üçgenlerin Alanlarının Eşitliği

Üçgenin alanı:

A = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}

Üç küçük üçgenin alanları eşit olduğuna göre, tabanları eşit (6 birim) ve yükseklikleri farklı olabilir.

Şekil 1’de üçgenler farklı yüksekliklere sahip olabilir, ama alanları eşit.

3. Şekil 2’deki Dörtgenin Kenarları

  • Şekil 2’de dörtgen oluşmuş.

  • Dörtgenin tabanı: 6 + 6 = 12 birim.

  • Dörtgenin diğer kenarları:

    • Üstteki eğik kenar: x = \sqrt{85}
    • Diğer kenarlar: 11 ve 6 birim (şekilden okunuyor).

4. Dörtgenin Çevresini Hesaplama

Dörtgenin kenarları:

Kenar No Uzunluk (birim) Açıklama
1 6 Alt tabanın sol parçası
2 11 Sol eğik kenar
3 x = \sqrt{85} Üstteki eğik kenar
4 6 Alt tabanın sağ parçası

Çevre:

P = 6 + 11 + \sqrt{85} + 6 = 23 + \sqrt{85}

Yaklaşık:

\sqrt{85} \approx 9.22 \\ P \approx 23 + 9.22 = 32.22

5. Şıklara Bakma

  • A) 28
  • B) 30
  • C) 32
  • D) 34
  • E) 36

Yaklaşık 32.22 en yakın 32 olduğundan cevap C şıkkıdır.

Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
Yükseklik hesaplama 11^2 = 6^2 + x^2 x = \sqrt{85}
Dörtgen kenarları 6, 11, x, 6 -
Çevre hesaplama 6 + 11 + \sqrt{85} + 6 \approx 32.22
En yakın şık 32 C

Sonuç:

Elde edilen dörtgenin çevresi yaklaşık 32 birimdir. Doğru cevap C şıkkıdır.

@Esingltkn

3

Soru:

Kenar uzunlukları 11, 11 ve 18 birim olan bir ikizkenar üçgen, alanları birbirine eşit üç alt üçgene ayrılıyor (Şekil 1). Daha sonra bu alt üçgenlerden biri kesilip Şekil 2’deki gibi birleştime yapılarak bir dörtgen elde ediliyor. Buna göre elde edilen bu dörtgenin çevresi kaç birimdir?
A) 28 B) 30 C) 32 D) 34 E) 36

İçindekiler

  1. Problemin Özeti
  2. Alanı Eşit Bölme
  3. Alt Üçgenlerin Kenar Uzunlukları
  4. Üçgenlerin Dörtgende Yerleşimi
  5. Dörtgenin Kenar Uzunlukları ve Çevre Hesabı
  6. Özet Tablo
  7. Sonuç

1. Problemin Özeti

  • Elimizde tabanı BC = 18 ve yan kenarları AB = AC = 11 olan bir ikizkenar üçgen var.
  • Bu üçgen, tepeden (A noktasından) tabana inen paralel kesitlerle alanı eşit üç alt üçgene bölünüyor.
  • Alt üçgenlerden biri alınıp taşınıyor, geri kalan iki alt üçgenle birlikte Şekil 2’de görülen bir dörtgen oluşturuluyor.
  • Bulmamız gereken, bu dörtgenin çevre uzunluğudur.

2. Alanı Eşit Bölme

İkizkenar üçgende tepe noktasından taban BC üzerine paralel kesitler çizildiğinde, alt üçgenlerin alanları taban uzunluklarıyla doğru orantılı olur. Yani
Alan \propto Tabân uzunluğu.

Toplam taban BC = 18 olduğuna göre, alanları eşit üç parçaya bölebilmek için tabanı üç eşit parçaya ayırmak yeterlidir:
$$BD = DE = EC = \frac{18}{3} = 6.$$

Böylece üç alt üçgenimiz:

  • \triangle ABD (mavi),
  • \triangle ADE (sarı),
  • \triangle AEC (pembe)

oluyor.

3. Alt Üçgenlerin Kenar Uzunlukları

Ana üçgenin yüksekliğini ve alt üçgenlerin kenarlarını hesaplayalım:

  1. Yüksekliği bulma
    Ana üçgende AB = 11, taban orta noktası M koordinat olarak (9,0) ve A=(9,h) olsun.
    $$AB^2 = 11^2 = 9^2 + h^2 \quad\Longrightarrow\quad 121 = 81 + h^2
    \quad\Longrightarrow\quad h = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}.$$

  2. AD ve AE uzunlukları

    • D=(6,0) noktasına uzaklık:
      AD = \sqrt{(9-6)^2 + (2\sqrt{10})^2} = \sqrt{3^2 + 40} = \sqrt{49} = 7.
    • Benzer şekilde E=(12,0) noktasına uzaklık da
      AE = 7.

  3. Alt üçgen kenarları

    Üçgen Kenarlar
    \triangle ABD AB=11,\ BD=6,\ AD=7
    \triangle ADE AD=7,\ DE=6,\ AE=7
    \triangle AEC AE=7,\ EC=6,\ AC=11

4. Üçgenlerin Dörtgende Yerleşimi

Şekil 2’de alt üçgenler şu şekilde konumlanır:

  • Taban kenarı: $\triangle ABD$’nin BD=6 ile, $\triangle ADE$’nin DE=6 parçaları yan yana, toplam 6+6=12 birim olarak dörtgenin alt kenarını oluşturur.
  • Sol yan kenar: $\triangle AEC$’nin EC=6 kenarı sol dış kenar olur.
  • Üst kenar: Aynı pembe $\triangle AEC$’nin AC=11 kenarı dörtgenin üst kenarı olarak yer alır.
  • Sağ yan kenar: Orta sarı $\triangle ADE$’nin AD=7 kenarı sağ dış kenar olur.

Bu yerleşimle elde edilen dörtgenin kenarları şöyle sıralanır:

  1. Sol: EC = 6
  2. Üst: AC = 11
  3. Sağ: AD = 7
  4. Alt: BD + DE = 6 + 6 = 12

5. Dörtgenin Kenar Uzunlukları ve Çevre Hesabı

Topladığımız kenar uzunlukları:

  • Sol kenar = 6
  • Üst kenar = 11
  • Sağ kenar = 7
  • Alt kenar = 12

Çevre:

P = 6 + 11 + 7 + 12 = 36.

6. Özet Tablo

Dörtgen Kenarı Oluşturan Üçgen ve Kenar Uzunluk
Sol EC (pembe \triangle AEC) 6
Üst AC (pembe \triangle AEC) 11
Sağ AD (sarı \triangle ADE) 7
Alt BD+DE (mavi + sarı) 6+6=12

| Toplam Çevre | | 36 |

7. Sonuç

Elde edilen dörtgenin çevresi 36 birimdir.
Doğru cevap: E) 36.

@Esingltkn