Görseldeki Sorunun Çözümü
Soruyu inceleyelim:
a, b ve c birer rakamdır.
- a = 4, yani birinci rakam sabittir ve 4’tür.
- b < c, yani ikinci rakam (b), üçüncü rakamdan (c) küçük olmalıdır.
Sorunun asıl amacı: abc biçiminde üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?
Adımlar ve Çözüm
1. Rakamları Belirleme
- a = 4 olduğu için bu sabit bir değerdir.
- b ve c rakamları 0 ile 9 arasında olacak. Ancak b < c olması gerektiğinden her b değeri için uygun c değerini belirleyeceğiz.
2. İkinci Rakama Bakış (b)
b’nin alabileceği değerler: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
3. Üçüncü Rakama Bakış (c)
Her b değeri için c’nin değerleri, b’den büyük olan rakamlar arasından seçilir.
Tablo: b ve c’nin alabileceği değerler
| b | c’nin Alabileceği Değerler | Olasılık Sayısı |
|---|---|---|
| 0 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | 9 |
| 1 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | 8 |
| 2 | 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | 7 |
| 3 | 4, 5, 6, 7, 8, 9 | 6 |
| 4 | 5, 6, 7, 8, 9 | 5 |
| 5 | 6, 7, 8, 9 | 4 |
| 6 | 7, 8, 9 | 3 |
| 7 | 8, 9 | 2 |
| 8 | 9 | 1 |
4. Toplam Doğal Sayı Olasılıklarını Hesaplama
Tablodaki olasılıkları topluyoruz:
Sonuç
Sorunun cevabı, abc biçiminde üç basamaklı toplam 45 farklı doğal sayı yazılabilir.
Cevap Seçeneği:
E) 45
Eğer başka bir sorunuz varsa, sormaktan çekinmeyin! 
@sorumatikbot
a, b ve c birer rakamdır. a = 4, b < c olduğuna göre, abc biçiminde üç basamaklı kaç değişik doğal sayı yazılabilir?
Cevap:
Merhaba! Bu soruda elimizde üç basamaklı bir sayı olan “abc” formatı söz konusu. Burada:
• a = 4 (yüzlük basamak)
• b ve c ise rakamlardır (0,1,2,…,9)
• Koşul: b < c
Bu bilgilerle, “abc” biçiminde yazılabilecek üç basamaklı sayıların sayısını bulmamız isteniyor.
Aşağıdaki içerik planında (Table of Contents) soruyu parçalara ayırarak adım adım inceleyeceğiz ve yanıtımızı bulacağız.
Table of Contents
- Soruya Genel Bakış
- Tanımlar ve Temel Kavramlar
- Matematiksel Yaklaşım ve Adım Adım Çözüm
- Örnek Bazı (b, c) İkili Tablosu
- Sıkça Sorulan Sorular
- Ek Açıklamalar ve Olası Uyarılar
- Kaynaklar ve Önerilen Okumalar
- Özet Tablo
- Genel Bir Özet ve Sonuç
1. Soruya Genel Bakış
Bu problem, basit sayı kombinasyonları konusuna dayanmaktadır ve matematikte temel kombinasyon ve dört işlem becerileriyle çözülebilir. Soru şu şekildedir:
• Üç basamaklı bir sayı olan “abc” verilmiş.
• Yüzler basamağı (a) sabit olarak 4’e eşit.
• b ve c rakamlar yani 0’dan 9’a kadar değer alabilirler.
• Tek kısıt: b < c.
Aradığımız şey, bu şartları sağlayan tüm (4bc) sayıları bulmak ve kaç tane olduğunu tespit etmektir.
2. Tanımlar ve Temel Kavramlar
Aşağıdaki kavramlar sorunun daha iyi anlaşılmasına yardımcı olacaktır:
- Rakam: 0’dan 9’a kadar olan sayılara rakam denir.
- Üç basamaklı sayı: 100’den 999’a kadar olan sayıları ifade eder. Bu soruda “abc” biçimindeki sayının 3 basamaklı olması için ‘a’ basamağının 0 olmaması gerekir. Zaten soruda “a=4” olarak verilmiş, bu sayede “4bc” ifadesi 400 ile 499 arasındaki sayıları kapsar.
- b < c koşulu: Bir sayının onlar basamağı (b) ile birler basamağının (c) arasındaki büyüklük ilişkisini anlatır. Eğer b < c ise, örneğin b=3, c=5 olabilir ancak b=5, c=3 olamaz.
3. Matematiksel Yaklaşım ve Adım Adım Çözüm
Bu tip sorular, “kaç farklı şekilde seçim yapabilirim?” sorusuna indirgenir. Elimizde sabit bir ‘a’ değeri varken (a=4), geriye “b < c” kısıtı kalır.
Adım 1: a Değerinin Belirlenmesi
• Soru bize a=4 olduğunu söylüyor.
• Dolayısıyla sayımız 4xx şeklinde (4 b c).
• Yüzler basamağı zaten 4 olarak sabitlendiği için bu adımdan sonra “b” ve “c” için uygun değerleri bulmamız gerekiyor.
Adım 2: b ve c Arasındaki İlişki (b < c)
• b ve c’nin her ikisi de 0’dan 9’a kadar herhangi bir rakam olabilir.
• Tek koşul: b < c.
• Bu demek oluyor ki b, c’den her zaman küçük olmak zorunda. Örneğin b=2 iken c=3, 4, 5, … 9 olabilir, ama b=2 iken c=2, c=1 gibi durumlar geçersizdir.
Adım 3: Tüm Olasılıkların Sayılması
Aslında en doğrudan yol, tüm (b,c) ikililerinin b < c koşulunu sağlayan durumlarını saymaktır. b ve c rakam olduğuna göre:
- b = 0, c = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (9 olasılık)
- b = 1, c = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (8 olasılık)
- b = 2, c = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (7 olasılık)
- b = 3, c = 4, 5, 6, 7, 8, 9 (6 olasılık)
- b = 4, c = 5, 6, 7, 8, 9 (5 olasılık)
- b = 5, c = 6, 7, 8, 9 (4 olasılık)
- b = 6, c = 7, 8, 9 (3 olasılık)
- b = 7, c = 8, 9 (2 olasılık)
- b = 8, c = 9 (1 olasılık)
Aşağıdaki formülle de hesaplayabiliriz:
- 10 farklı rakam (0–9) arasından 2 tanesini seçip (b,c) şeklinde sıralarsak (b<c), \binom{10}{2} = 45 elde ederiz.
Dolayısıyla (b,c) ikililerinin sayısı 45’tir.
Adım 4: Sonuç ve Doğrulama
b < c kısıtını sağlayan 45 farklı ikili mevcuttur. Yüzler basamağı a = 4 sabit olduğuna göre, her (b,c) çifti bize 4b ve c basamaklarından oluşan tek bir üç basamaklı sayı (4 b c) verir. Bu yüzden, bu şartları sağlayan üç basamaklı sayıların sayısı 45’tir.
4. Örnek Bazı (b,c) İkili Tablosu
Aşağıdaki tablo, 0 ≤ b < c ≤ 9 durumuna örnek birkaç satır göstermektedir:
| b (Onlar Basamağı) | c (Birler Basamağı) | Üç Basamaklı Sayı (4 b c) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 401 |
| 0 | 2 | 402 |
| 0 | 9 | 409 |
| 1 | 2 | 412 |
| 1 | 9 | 419 |
| 2 | 7 | 427 |
| 3 | 9 | 439 |
| 4 | 5 | 445 (Bakınız b=4, c=5) |
| 7 | 8 | 478 |
| 7 | 9 | 479 |
| … | … | … |
Yukarıdaki tablo bütün olasılıkları değil, sadece küçük bir kısmını gösterir. Tüm liste çıkarıldığında toplam 45 farklı ikili elde edilir.
5. Sıkça Sorulan Sorular
-
b = 0 olabilir mi?
• Evet, olabilir. Üç basamaklı sayılarda onlar basamağının 0 olması ‘40c’’ şeklinde bir sayı oluşturur (örneğin 401). Bu hâlâ üç basamaklı bir sayıdır ve geçerlidir. -
c, b’ye eşit olabilir mi?
• Hayır, soruda b < c şartı var. b ve c eşit olamaz. -
a ve b aynı olabilir mi?
• O da mümkündür. Mesela b=4, c=5 gibi bir ikili b < c ve a=4 varsa, 445 sayısı geçerlidir. “a=4, b=4” demek yüzler basamağı 4, onlar basamağı da 4’tür. Soru b ile a’nın farklı olması gerektiğini söylemiyor. Dolayısıyla b=4 izin verilen bir durumdur. -
Sayı kaçla başlıyor, kaçla bitiyor?
• Sayı yüzler basamağı (a)=4 olduğu için 400 ile 499 arasındadır. Ama her 400-499 arası sayı şartı karşılamıyor; b < c olması gerekir. -
Bu tür soruları daha hızlı nasıl çözebiliriz?
• 10 rakam arasından 2’sini sırayla (b,c) seçerken b < c kısıtı, kombinasyonla hesaplanabilir: \binom{10}{2} = 45.
6. Ek Açıklamalar ve Olası Uyarılar
- Rakam kavramının 0-9 arası olduğu unutulmamalıdır. Bazı sorularda “rakam” yerine “doğal sayı” tanımı geçebilir ve “0” kullanımı konusunda farklı yorumlar olabilir. Ama klasik tanımda rakam = 0-9’dur.
- Soru, a=4’ü sabitlediği için, geriye “b ve c” için sadece b < c kısıtını incelemek kalır.
- Aynı tip başka bir soru, b < c yerine b > c dese, bu sefer yine \binom{10}{2} = 45 sonuç çıkar ama tens(b) > ones(c) şeklinde sıralanırdı.
- Üç basamaklı bir sayının ilk basamağı sıfır olamaz; bu yüzden a=4 belirlenmiş olması zaten o engeli ortadan kaldırır.
7. Kaynaklar ve Önerilen Okumalar
- MEB Ortaöğretim Matematik Ders Kitabı (9. veya 10. Sınıf) – Kombinasyon, permütasyon ve temel sayma ilkeleri bölümü.
- TYT / AYT Matematik Soru Bankaları – Temel sayma ve olasılık testleri.
- OpenStax “Introductory Statistics” – Sayma teknikleri (Combination ve Permutation) bölümleri.
Bu kaynaklar, sizdeki “b < c” gibi sıralamalı seçme sorularını daha detaylı şekilde ele alan egzersizler içerir.
8. Özet Tablo
Aşağıdaki tablo, sorunun temel adımlarını, formülleri ve sonuçları kısaca özetlemektedir:
| Adım | İşlem / Formül | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. a Değerini Sabitle | a = 4 | Sayımız 4bc şeklinde (400’lü sayılar) |
| 2. b ve c’nin Aralığı | b, c ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} | 10 farklı rakam (0’dan 9’a) |
| 3. b < c Koşulu | b < c | (b,c) sıralı ikili seçiminde dizilim farkı olmadan sayma |
| 4. Toplam İkili Sayısı (b,c) | \binom{10}{2} = 45 | b < c kısıtını sağlayan 45 farklı çift |
| 5. Üç Basamaklı Sayı Oluşturma | 4 b c → her (b,c) için tek bir sayı | Toplam 45 sayı |
| 6. Sonuç | 45 | Cevap |
9. Genel Bir Özet ve Sonuç
Bu soruda öncelikle yüzler basamağının (a) değeri 4 olarak verildi. Ardından onlar (b) ve birler (c) basamakları için 0’dan 9’a kadar olan rakamların bir ikili olarak seçilmesi istendi. Tek koşul, b < c olmasıdır. Dolayısıyla “b < c” tabanlı tüm (b,c) çifti sayısını bulduk. 0’dan 9’a 10 rakam olduğu için \binom{10}{2} = 45 farkı (b,c) ikilisi vardır. Her ikili, 4 b c formatında tek bir üç basamaklı sayı oluşturur; bu yüzden yanıtımız 45’tir.
Böylece, “a=4” ve “b < c” kısıtlarını sağlayan üç basamaklı tüm sayılar (400’lü) içerisinde tam 45 tane farklı sayı yazılabildiğini görmüş oluyoruz.
Sonuç: Sorunun cevabı 45.
@anonymous13
a, b ve c birer rakamdır. a = 4·b ve b < c olduğuna göre, abc biçiminde üç basamaklı kaç değişik doğal sayı yazılabilir?
Answer:
Bu soruda, bir üç basamaklı sayı abc’de:
- a, b, c ∈ {0,1,2,…,9} ve a ≠ 0 (üç basamaklı sayılarda ilk basamak sıfır olamaz).
- a = 4·b,
- b < c,
koşulları verilmiştir.
-
Öncelikle a = 4·b eşitliğine bakalım:
- b = 1 → a = 4.
- b = 2 → a = 8.
- b = 3 → a = 12 (ancak a tek bir rakam olmak zorunda, 12 geçerli değildir).
- b’nin 3’ten büyük olması durumunda a = 4·b 9’u aştığı için a bir rakam olmaktan çıkar.
Dolayısıyla b sadece 1 veya 2 olabilir.
-
b = 1 olduğunda a = 4’tür.
- b < c koşulu ⇒ 1 < c
- c ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
- Bu durumda c için 8 farklı değer vardır (2’den 9’a kadar).
- Oluşan üç basamaklı sayılar: 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419
-
b = 2 olduğunda a = 8’dir.
- b < c ⇒ 2 < c
- c ∈ {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
- Bu durumda c için 7 farklı değer vardır (3’ten 9’a kadar).
- Oluşan üç basamaklı sayılar: 823, 824, 825, 826, 827, 828, 829
-
Tüm geçerli sayıları toplarsak:
- b=1 durumunda 8 sayı,
- b=2 durumunda 7 sayı,
- Toplam = 8 + 7 = 15 sayıdır.
Dolayısıyla, verilen koşulları sağlayan üç basamaklı sayı adedi 15’tir.
@username