Görseldeki Süreklilik Sorusunun Çözümü

Üniversite
1

I. f(x + 2a)
II. f(x - 3a)
2a
I| fonksiyonu tüm pozitif gerçel sayılarda sürekli
olduğuna göre
III. f(a - x)
2-3a
Ly = f(x)
fonksiyonlarından hangileri tüm negatif gerçel
sayılarda süreklidir?

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 36.4 KB

2

Görseldeki Süreklilik Sorusunun Çözümü

:light_bulb: KULLANILAN KAVRAMLAR VE FORMÜLLER:
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağ limit, sol limit ve fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir. |f(x)| fonksiyonunun sürekli olması, f(x)'in sıçrama yaptığı noktalarda değerlerin mutlakça birbirine eşit olması (yani L_1 = -L_2 durumu) anlamına gelir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — a Değerinin Belirlenmesi
Grafiğe baktığımızda f(x) fonksiyonunun x = 1 noktasında bir kopma (süreksizlik) yaşadığını görüyoruz.

  • x \to 1^+ (sağdan) limit değeri: 2a
  • x \to 1^- (soldan) limit değeri: 2 - 3a

Soruda |f(x)| fonksiyonunun tüm pozitif gerçel sayılarda (dolayısıyla x=1 noktasında da) sürekli olduğu belirtilmiştir. Bu durumda mutlak değerce bu limitler eşit olmalıdır:
|2a| = |2 - 3a|

Buradan iki durum çıkar:

  1. 2a = 2 - 3a \implies 5a = 2 \implies a = 0,4
  2. 2a = -(2 - 3a) \implies 2a = -2 + 3a \implies a = 2

Grafikte x = 1 noktasının sağ tarafındaki değer (2a) pozitif, sol tarafındaki değer (2-3a) negatif görünmektedir. a=2 için; 2a = 4 ve 2-3a = -4 olur ki bu grafikle uyumludur (a=0,4 durumunda her iki değer de pozitif çıkar, grafik uyuşmaz).
Sonuç: a = 2

Adım 2 — f(x) Fonksiyonunun Süreksiz Olduğu Noktalar
f(x) fonksiyonu sadece x = -5 ve x = 1 noktalarında süreksizdir. Soruda hangi öncüllerin tüm negatif gerçel sayılarda (x < 0) sürekli olduğu soruluyor. Yani fonksiyonun içini -5 veya 1 yapan x değerinin negatif çıkmaması gerekir.

Adım 3 — Öncüllerin Analizi (a = 2 yazarak)

  • I. f(x + 2a) \implies f(x + 4)
    İçeriği süreksizlik noktalarına eşitleyelim:
    x + 4 = 1 \implies x = -3
    x + 4 = -5 \implies x = -9
    x = -3 ve x = -9 değerleri negatiftir. Bu noktalarda fonksiyon süreksiz olacağı için tüm negatif sayılarda sürekli değildir. (:cross_mark:)

  • II. f(x - 3a) \implies f(x - 6)
    İçeriği süreksizlik noktalarına eşitleyelim:
    x - 6 = 1 \implies x = 7
    x - 6 = -5 \implies x = 1
    Süreksizlik yaratan x değerleri (7 ve 1) pozitiftir. Bu durumda fonksiyon tüm negatif gerçel sayılarda süreklidir. (:white_check_mark:)

  • III. f(a - x) \implies f(2 - x)
    İçeriği süreksizlik noktalarına eşitleyelim:
    2 - x = 1 \implies x = 1
    2 - x = -5 \implies x = 7
    Süreksizlik yaratan x değerleri (1 ve 7) pozitiftir. Dolayısıyla fonksiyon tüm negatif gerçel sayılarda süreklidir. (:white_check_mark:)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: II ve III
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Mutlak Değer Sürekliliği

  • Tanım: Bir f fonksiyonu bir noktada süreksiz olsa bile, sağ ve sol limitleri birbirinin zıt işaretlisi ise |f| o noktada sürekli hale gelir.
  • Bu problemde: x=1 noktasındaki sıçrama, mutlak değer sayesinde giderilmiştir.

2. Fonksiyonlarda Öteleme ve Yansıma

  • Tanım: f(x-k) grafiği k birim sağa öteler, f(-x) ise y eksenine göre yansıtır.
  • Bu problemde: Süreksizlik noktalarının (x=-5, 1) yapılan işlemler sonucunda hangi yeni x değerlerine kaydığı incelenmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: a değerini yanlış seçmek

  • Yanlış: Sadece |2a| = |2-3a| eşitliğini çözüp grafikteki işaretlere bakmamak.
  • Doğru: Grafik x=1 sağında pozitif, solunda negatif değer aldığını gösterdiği için a=2 seçilmelidir.
  • Neden: a=0,4 seçilirse her iki limit de pozitif olur, oysa grafikte biri negatif bölgededir.

Bu çözümde a değerini bulma yöntemini netleştirebildik mi, yoksa grafik okuma kısmıyla ilgili bir örnek daha ister misin?