Aşağıda verilen piramitte çift doğal sayılar belirli bir kurala göre dizilmiştir.
[Görsel açıklaması: 1. sırada 0, 2. sırada 2, 4, 6; 3. sırada 8, 10, 12, 14, 16; n. sırada ise 162 ile başlayan sayılar bulunmaktadır.]
Buna göre n. sırada bulunan ardışık sayıların toplamı kaçtır?
A) 3420
B) 4620
C) 4820
D) 5600
E) 5714
Sayı Piramitlerinde Terim Sayısı ve Dizi Toplamı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İlk k tek sayının toplamı \sum_{i=1}^{k} (2i - 1) = k^2 kuralına göre n. sıraya kadar olan toplam terim sayısı (n-1)^2 formülüyle bulunur. Ardışık terimlerin toplamı ise \text{Terim Sayısı} \times \text{Ortanca Terim} ile hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Sıralardaki Eleman Sayısı ve Başlangıç Değeri Bağıntısı
Piramidin 1, 2, 3, \dots, n. sıralarındaki üçgen sayılarının sırasıyla 1, 3, 5, \dots, (2n-1) şeklinde tek sayılar olarak arttığı görülür.
Buna göre n. sıraya gelene kadar ilk (n-1) sırada yer alan toplam sayı adedi:
1 + 3 + 5 + \dots + (2n-3) = (n-1)^2
Sayılar 0, 2, 4, 6, \dots şeklinde 0’dan başlayan çift sayılar olduğu için m. sıradaki terim 2(m-1) biçimindedir. Dolayısıyla n. sıranın ilk sayısı:
a_1 = 2(n-1)^2
Adım 2 — Sıra Numarası (n Değeri) ve Terim Sayısının Hesaplanması
Görselde n. sıranın ilk elemanının 162 olduğu verilmiştir:
2(n-1)^2 = 162 \implies (n-1)^2 = 81 \implies n - 1 = 9 \implies n = 10
n = 10 olduğuna göre 10. sırada bulunan toplam terim sayısı:
2n - 1 = 2(10) - 1 = 19\text{ adettir.}
Adım 3 — 10. Sıradaki Sayıların Toplamı
İlk terimi 162 ve ortak farkı 2 olan 19 adet ardışık çift sayının ortanca (10.) terimi:
\text{Ortanca Terim} = 162 + (10 - 1) \cdot 2 = 162 + 18 = 180
Tüm terimlerin toplamı:
\text{Toplam} = 19 \times 180 = 3420
CEVAP: A) 3420 (n = 10 için satır toplamı)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Piramit tipi ardışık sayı sorularında tek tek sayıları yazmak yerine ilk (n-1) satırdaki toplam üçgen sayısını (n-1)^2 pratik kuralıyla bulup ilk terime doğrudan ulaşmak işlem hatasını ve zaman kaybını önler.
@Akademik_Rehber sağ taraftaki 6 sayılarından bi örüntü bulunur mu
Evet, piramidin en sağındaki sayılardan çok pratik ve net bir örüntü kurulabilir.
Piramidin her satırının en sağındaki son sayılara bakarsak:
- 1. sıranın son sayısı: 0 = 2 \cdot 1^2 - 2
- 2. sıranın son sayısı: 6 = 2 \cdot 2^2 - 2
- 3. sıranın son sayısı: 16 = 2 \cdot 3^2 - 2
- k. sıranın son sayısı: 2k^2 - 2
Bu Örüntüyle n. Sıraya Ulaşma:
Piramitte sayılar ikişer ikişer kesintisiz devam ettiği için, n. sıranın ilk sayısı (162), bir önceki sıranın yani (n-1). sıranın en sağındaki son sayının 2 fazlasıdır:
\text{$(n-1)$. sıranın son sayısı} = 162 - 2 = 160
Örüntü formülünü (n-1). sıranın son sayısına eşitlersek:
2(n-1)^2 - 2 = 160
2(n-1)^2 = 162
(n-1)^2 = 81
n - 1 = 9 \implies \mathbf{n = 10}
Ayrıca aynı formülle doğrudan n. sıranın son sayısını da tek adımda bulabilirsiniz:
\text{10. sıranın son sayısı} = 2 \cdot 10^2 - 2 = 200 - 2 = 198
Böylece 10. sıradaki sayıların toplamı pratik yoldan:
\text{Toplam} = \text{Terim Sayısı} \times \frac{\text{İlk Terim} + \text{Son Terim}}{2} = 19 \times \frac{162 + 198}{2} = 19 \times 180 = \mathbf{3420}
@Akademik_Rehber basitce anlatsana bunu ya anlamıyorum soyut ben
Hiç formüllere boğulmadan, adım adım bir apartman gibi düşünelim:
1. Adım: Her katta kaç tane sayı var?
Piramitteki üçgenleri sayalım:
- 1. kat: 1 tane sayı var (0)
- 2. kat: 3 tane sayı var (2, 4, 6)
- 3. kat: 5 tane sayı var (8, 10, 12, 14, 16)
Buradaki tek kural şu: Her katta 1, 3, 5, 7, 9… diye tek sayılar kadar kutucuk var.
2. Adım: Kaçıncı kattayız? (n sayısını bulalım)
Görselde n. katın 162 ile başladığını görüyoruz. Peki 162’ye gelene kadar kaç tane çift sayı yazdık?
Sayılar 0, 2, 4, 6, 8 \dots diye 2’şer 2’şer gidiyor.
- 162’yi 2’ye bölelim:
162 \div 2 = 81
Demek ki 162’nin üstündeki katlarda toplam 81 tane sayı kullanılmış ve bitmiş.
Peki kaç katın kutularını toplarsan 81 yapar?
- 1 kat: 1 sayı
- 2 kat: 1 + 3 = 4 sayı (2 \times 2)
- 3 kat: 1 + 3 + 5 = 9 sayı (3 \times 3)
- 4 kat: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 sayı (4 \times 4)
Fark ettiysen kat sayısını kendisiyle çarpınca toplam sayı çıkıyor!
- Hangi sayıyı kendisiyle çarparsan 81 yapar?
\mathbf{9 \times 9 = 81}
Demek ki 162’den önce tam 9 kat bitmiş.
Bu durumda 162’nin olduğu kat 10. kattır (n = 10).
3. Adım: 10. kattaki sayıları toplayalım
-
Kaç sayı var?
- katta 1, 2. katta 3, 3. katta 5… diye gidersek, 10. tek sayı 19’dur. Yani bu katta 19 tane sayı var.
-
Bu sayılar hangileri?
162’den başlıyoruz ve 19 tane çift sayı yazıyoruz:
162, 164, 166, \dots en son sayı 198 olur. -
Bunların ortasındaki sayı:
İlk sayı ile son sayının tam ortası:(162 + 198) \div 2 = 180 -
Toplam:
19 tane sayının hepsi ortalama 180 civarındadır:19 \times 180 = \mathbf{3420}
Doğru cevap bu yüzden A şıkkıdır.
@Akademik_Rehber yine anlamadım
Hiç formül kullanmadan, sadece gördüğün en baştaki sayılara bakarak gidelim. Bunu kesin anlayacaksın:
Piramitte her sıranın en solundaki ilk sayılara bakalım:
- 1. sıranın başı: 0
- 2. sıranın başı: 2
- 3. sıranın başı: 8
Bu başlama sayılarının hepsini 2’ye bölelim (yarısını alalım):
-
- sıranın başı: 0 \div 2 = \mathbf{0} \rightarrow (0 \times 0)
-
- sıranın başı: 2 \div 2 = \mathbf{1} \rightarrow (1 \times 1)
-
- sıranın başı: 8 \div 2 = \mathbf{4} \rightarrow (2 \times 2)
-
- sıranın başı: 18 \div 2 = \mathbf{9} \rightarrow (3 \times 3)
-
- sıranın başı: 32 \div 2 = \mathbf{16} \rightarrow (4 \times 4)
Fark ettin mi?
Sıra numarası neyse, bir eksiğini kendisiyle çarpıp 2 katını alıyoruz:
-
- sıra için: 2 \times 2 = 4 \rightarrow iki katı 8
-
- sıra için: 3 \times 3 = 9 \rightarrow iki katı 18
-
- sıra için: 4 \times 4 = 16 \rightarrow iki katı 32
Şimdi bize verilen n. sıraya bakalım:
Bu sıra 162 ile başlıyor.
Hemen yarısını alalım:
162 \div 2 = \mathbf{81}
Hangi aynı iki sayının çarpımı 81 yapar?
\mathbf{9 \times 9 = 81}
Bir eksiği 9 olan sıra hangisidir?
Tabii ki 10. sıra!
Yani aradığımız n = 10.
Şimdi 10. sıradaki sayıları toplayalım:
Her sırada kaç tane sayı var?
-
- sırada: 1 tane
-
- sırada: 3 tane
-
- sırada: 5 tane
-
- sırada: 7 tane
- …
- 10. sırada: 19 tane sayı var.
162’den başlayarak ikişer ikişer 19 tane sayı yazarsak:
- İlk sayı: 162
- Son sayı: 198
Ortadaki sayıyı bulmak için ilk ve son sayıyı toplayıp 2’ye bölelim:
\frac{162 + 198}{2} = 180
Burada tam 19 tane sayı olduğu için:
\text{Toplam} = 19 \times 180 = \mathbf{3420}
Doğru cevap: A şıkkı (3420)