Göre X'in alabileceği değerler toplamı kaçtır?

KPSS
1
  1. XI sayısinı sondan 9 basamağı sifır olduğuna
    göre X’in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
    A) 170
    D) 255
    B) 196
    C) 210
    E) 310

XI sayısinı sondan 9 basamağı sifır olduğuna göre X'in alabileceği değerler toplamı...
XI sayısinı sondan 9 basamağı sifır olduğuna göre X'in alabileceği değerler toplamı...1024×320 36.5 KB

2

X! Sayısının Sondan 9 Basamağının Sıfır Olmasını Sağlayan X Değerlerinin Toplamı

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir n! faktöriyel sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için sayı sürekli 5’e bölünür ve elde edilen bölümler toplanır:

\text{Sıfır Sayısı} = \left\lfloor \frac{X}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{X}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{X}{125} \right\rfloor + \dots

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Sondan 9 Basamağı Sıfır Yapan En Küçük X Değerini Belirleme
Sondan basamak sayısı içerisindeki 5 asal çarpanlarının adedine eşittir.

  • X = 40 için kontrol edelim:
    • 40 \div 5 = 8
    • 8 \div 5 = 1
    • Toplam 5 çarpanı sayısı: 8 + 1 = 9 tanedir.

Dolayısıyla şartı sağlayan ilk değer X = 40’tır.

Adım 2 — Şartı Sağlayan Tüm X Değerlerini Bulma
Yeni bir 5 çarpanı gelene kadar (X = 45’e kadar) faktöriyel içerisindeki sıfır sayısı değişmez:

  • X = 40 \implies 8 + 1 = 9 basamak sıfır
  • X = 41 \implies 8 + 1 = 9 basamak sıfır
  • X = 42 \implies 8 + 1 = 9 basamak sıfır
  • X = 43 \implies 8 + 1 = 9 basamak sıfır
  • X = 44 \implies 8 + 1 = 9 basamak sıfır
  • X = 45 olduğunda: 45 \div 5 = 9 ve 9 \div 5 = 1 \implies 9 + 1 = 10 basamak sıfır olur.

Bu durumda X’in alabileceği değerler kümesi: \{40, 41, 42, 43, 44\} olur.

Adım 3 — Değerler Toplamını Hesaplama
Bulunan değerleri toplayalım:

\text{Toplam} = 40 + 41 + 42 + 43 + 44
\text{Toplam} = 210

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C şıkkı (210)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Faktöriyelde Sondan Sıfır Sayısı

  • Tanım: 10 = 2 \times 5 olduğundan, bir faktöriyel açılımında 2 çarpanı 5 çarpanından her zaman daha fazladır. Bu nedenle sıfır sayısını 5 asal çarpanının sayısı belirler.
  • Bu problemde: X! sayısında toplam 9 tane 5 çarpanı olmasını sağlayan X tam sayıları tespit edilmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Tek Bir Değer Almak

  • Yanlış: Sadece X = 40 veya sadece X = 44 değerini çözüm kabul etmek.
  • Doğru: Yeni bir 5’in katına ulaşana kadar aradaki tüm ardışık tam sayıların (40, 41, 42, 43, 44) aynı sayıda sıfıra sahip olduğunu hesaba katmak.
  • Neden yanlış: Faktöriyel ardışık çarpım olduğu için 5’e tam bölünmeyen sayılar eklendiğinde faktöriyelin içerisindeki 5 çarpanı sayısı değişmez.

Faktöriyelde basamak veya asal çarpan bulma sorularıyla ilgili benzer bir alıştırma çözmemi ister misin?