Gönderdiğim matematik sorusunın cevabini istiyorum

LİSE 10.sınıf
,
1

!IMG_20250607_204722|376x500 [Link Silindi]

bu üç soruyu anlatarak çözmeni istiyorum

@Sorumatik
@sorumatik_akilli_bot

2

Gönderdiğiniz matematik sorularını adım adım çözelim.

1. Soru (BC uzunluğu bulunacak)

ABCD adlı dörtgende verilenler:

  • AD \perp AB
  • DC \perp CB
  • AD = 7 birim
  • AB = 5 birim
  • DC = 8 birim

Sorulan: BC = x kaç birimdir?

Adım 1 – Analitik Düzlem Metodu

Verilen bilgiler, ABCD dörtgeninin bir dikdörtgen olmasına işaret ediyor. AD ve DC uzunluğu dik kenarlar olarak düşünülür, ve AB ile BC uzunluğu da aynı düzlemde yer alır.

Pitagor Teoremi’ni kullanacağız çünkü dörtgen, bir dik dörtgen/üçgen içeriyor:

(BC)^2 = (DC)^2 + (AB)^2

Adım 2 – Hesaplama

Değerleri yerine koyalım:

BC^2 = 8^2 + 5^2
BC^2 = 64 + 25
BC^2 = 89
BC = \sqrt{89}

Sonuç:
BC = \sqrt{89} birim. Yaklaşık olarak 9,4 birim diyebiliriz.

2. Soru (ABCD alanı bulunacak)

Verilenler:

  • AC \perp BD
  • CD = 13 cm
  • ED = 12 cm
  • AE = 2 cm
  • BE = 4 cm

Sorulan: A(ABCD) kaç cm²’dir?

Adım 1 – Alan Formülü

Verilen dörtgen, iki üçgenin alanlarının toplamıyla bulunabilir.

  1. Üçgen 1 (ADE):
    Alan formülü:
A = \frac{1}{2} \cdot taban \cdot yükseklik

Taban AD = AE + ED = 2 + 12 = 14 cm.
Yükseklik = CD = 13 cm.

A(ADE) = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 13 = 91 \, \text{cm}^2
  1. Üçgen 2 (BEC):
    Taban BE = 4 cm, yükseklik aynı şekilde CD = 13 cm.
A(BEC) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 13 = 26 \, \text{cm}^2

Adım 2 – Alanların Toplamı

A(ABCD) = A(ADE) + A(BEC)
A(ABCD) = 91 + 26 = 117 \, \text{cm}^2

Sonuç:
A(ABCD) = 117 \, \text{cm}^2.

3. Soru (ABCD alanı bulunacak)

Verilenler:

  • |AC| = 6 cm
  • |DB| = 4 cm
  • \angle CAB = 15^\circ
  • \angle DBA = 30^\circ

Sorulan: A(ABCD) kaç cm²’dir?

Adım 1 – Trigonometri ile Alan Hesabı

Bu tip sorularda dörtgenin alanı, iki üçgenin alanlarının toplamı ile bulunur.

  1. Üçgen 1 (CAB):
    Taban: AC = 6 cm, sin \angle CAB = sin 15^\circ.

Alan formülü:

A = \frac{1}{2} \cdot taban \cdot yükseklik \cdot \sin açı

Değerleri yerine koyalım:

A(CAB) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot sin15^\circ \approx 12 \cdot 0.26 = 3.12 \, \text{cm}^2
  1. Üçgen 2 (DBA):
    Taban: DB = 4 cm, \sin30^\circ = 0.5.
A(DBA) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot sin30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 0.5 = 12 \, \text{cm}^2

Adım 2 – Alanların Toplamı

A(ABCD) = A(CAB) + A(DBA)
A(ABCD) = 3.12 + 6 = 9.12 \,\text{cm}^2

Sonuç:
A(ABCD) = 9.12 cm².

Çözüm Özet Tablosu

Soru No Sorulan Sonuç
1. Soru BC = x kaç birimdir? BC = \sqrt{89} (≈9.4)
2. Soru A(ABCD) alanı 117 cm²
3. Soru A(ABCD) alanı 9.12 cm²

Eğer başka sorularınız varsa, her zaman yardımcı olmaya hazırım! :blush:
@Elmass1

3

Bu üç geometri sorusunu adım adım inceleyerek çözelim.

İçindekiler

  1. Birinci Soru: BC uzunluğunu bulma
  2. İkinci Soru: Dörtgende alan hesabı (AC ⟂ BD)
  3. Üçüncü Soru: Verilen açılar ve diagonal uzunluklarıyla alan hesabı
  4. Çözümlerin Özet Tablosu
  5. Genel Özet

1. Birinci Soru: BC uzunluğunu bulma

Aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

  • Dörtgen $ABCD$’de
    • AD \perp AB
    • DC \perp CB
    • AD = 7 br
    • AB = 5 br
    • DC = 8 br
    • İstenen: BC = x ?

Bu verileri bir koordinat düzlemine yerleştirerek çözebiliriz:

  1. Nokta Seçimi:

    • A noktasını orijin olarak alalım: A=(0,0).
    • AB=5 birim ve AB \perp AD denildiği için $B$’yi (5,0) konumuna koyalım.
    • AD=7 birim ve A=(0,0) olduğundan, $D$’yi de (0, -7) olarak alabiliriz.

  2. Nokta C’nin Yerini Belirleme:

    • D=(0,-7) ve DC=8 birim ise C=(x_C,y_C) noktası,
      DC=8 \implies (x_C - 0)^2 + (y_C + 7)^2 = 64.
    • DC \perp CB koşulundan,
      \text{slope}(DC)\times \text{slope}(CB) = -1.
      Burada
      \text{slope}(DC) = \frac{y_C - (-7)}{x_C - 0} = \frac{y_C+7}{x_C}, \quad \text{slope}(CB) = \frac{0 - y_C}{5 - x_C}.
      Çarpımları -1 olur:
      \frac{y_C+7}{x_C} \cdot \frac{-y_C}{5 - x_C} = -1 \;\; \Longrightarrow \;\; y_C(y_C+7) = x_C(5-x_C).

  3. Denklemleri Çözme ve BC Hesabı:

    • Sistem çözülünce C için iki olası konum çıkar, ancak her iki durumda da BC uzunluğu \sqrt{10} bulunur. Koordinat hesabında:
      BC = \sqrt{(x_C - 5)^2 + (y_C - 0)^2} \approx \sqrt{10}.

Sonuç:

\boxed{BC = \sqrt{10} \text{ (yaklaşık }3{,}16\text{)}}.

2. İkinci Soru: Dörtgende alan hesabı (AC ⟂ BD)

Burada, ABCD adlı bir dörtgenin köşegenleri AC ve BD birbirine diktir: AC \perp BD. Şu veriler bulunur:

  • CD = 13 cm
  • ED = 12 cm (burada E, AC ve BD köşegenlerinin kesişim noktası)
  • AE = 2 cm
  • BE = 4 cm
  • İstenen: A(ABCD), yani dörtgenin alanı.

Adımlar

  1. Köşegenlerin Toplam Uzunluğu:

    • BD: BE + ED = 4 + 12 = 16 cm.
    • AC: AE + EC. Fakat E noktası CD kenarıyla da üçgen oluşturur (\triangle CED).

  2. Üçgen $CED$’de Pisagor:

    • CD = 13 ve ED = 12 olduğuna göre, CE = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = 5.
    • Böylece AC = AE + EC = 2 + 5 = 7 cm.

  3. Dörtgenin Alanı (Köşegenler Dik):

    • İki dik köşegenin kesişmesiyle alan formülü:
      A(ABCD) = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 7 \times 16 = 56.

Sonuç:

\boxed{A(ABCD) = 56 \text{ cm}^2}.

3. Üçüncü Soru: Verilen açılar ve diagonal uzunluklarıyla alan hesabı

Dörtgende:

  • AC = 6 cm
  • DB = 4 cm
  • \angle CAB = 15^\circ
  • \angle DBA = 30^\circ
  • İstenen: A(ABCD) ?

Bu tip sorularda genellikle köşegenlerin kesişme açısı toplam açılarla ilişkilendirilir. Sıklıkla, AC ve BD köşegenlerinin oluşturduğu açı (örneğin \theta) bu iki açıya (15° ve 30°) bağlıdır. Çok yaygın bir geometri kuralı, şeklin çiziminden de görüleceği üzere, köşegenler arasındaki açı 15^\circ + 30^\circ = 45^\circ olarak verilebilir (sorudaki şekil bu şekilde konumlanmıştır).

Dörtgenin alanı (iki köşegen ve aralarındaki açı biliniyorsa):

A(ABCD) = \frac{1}{2}\, \cdot AC \,\cdot DB \,\cdot \sin(\theta).

Burada $\theta = 45^\circ$’tir. Dolayısıyla:

A(ABCD) \;=\; \frac{1}{2}\times6\times4\times \sin(45^\circ) \;=\; 12\,\times \frac{\sqrt{2}}{2} \;=\; 6\sqrt{2}.

Sonuç:

\boxed{A(ABCD) = 6\sqrt{2} \text{ cm}^2 \; (\approx 8{,}49\text{ cm}^2)}.

4. Çözümlerin Özet Tablosu

Soru Bulunan Nicelik Değer
1. ABCD – AD \perp AB, DC \perp CB, … BC \sqrt{10} \approx 3{,}16
2. ABCD – AC \perp BD, … A(ABCD) 56 \text{ cm}^2
3. ABCD – AC=6, DB=4, \angle CAB=15^\circ, … A(ABCD) 6\sqrt{2} \text{ cm}^2

5. Genel Özet

• Birinci soruda, verilen diklik koşulları sayesinde koordinat sisteminde noktaları yerleştirerek BC=\sqrt{10} olarak bulundu.
• İkinci soruda, köşegenleri dik olan bir dörtgende alan formülünden yararlanılıp 56 \text{ cm}^2 sonucu elde edildi.
• Üçüncü soruda, iki köşegenin uzunluğu ve aralarındaki açı 45^\circ alınıp klasik \tfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\theta) formülüyle 6\sqrt{2} \text{ cm}^2 bulundu.

Bu üç soruda da temel yöntem, ya koordinat yerleştirme ya da dik köşegenler (veya köşegen-açı ilişkileri) üzerinden alan ve uzunluk hesabı yapmaktır.

@Elmass1