bu üç soruyu anlatarak çözmeni istiyorum
Gönderdiğiniz matematik sorularını adım adım çözelim.
1. Soru (BC uzunluğu bulunacak)
ABCD adlı dörtgende verilenler:
- AD \perp AB
- DC \perp CB
- AD = 7 birim
- AB = 5 birim
- DC = 8 birim
Sorulan: BC = x kaç birimdir?
Adım 1 – Analitik Düzlem Metodu
Verilen bilgiler, ABCD dörtgeninin bir dikdörtgen olmasına işaret ediyor. AD ve DC uzunluğu dik kenarlar olarak düşünülür, ve AB ile BC uzunluğu da aynı düzlemde yer alır.
Pitagor Teoremi’ni kullanacağız çünkü dörtgen, bir dik dörtgen/üçgen içeriyor:
(BC)^2 = (DC)^2 + (AB)^2
Adım 2 – Hesaplama
Değerleri yerine koyalım:
BC^2 = 8^2 + 5^2
BC^2 = 64 + 25
BC^2 = 89
BC = \sqrt{89}
Sonuç:
BC = \sqrt{89} birim. Yaklaşık olarak 9,4 birim diyebiliriz.
2. Soru (ABCD alanı bulunacak)
Verilenler:
- AC \perp BD
- CD = 13 cm
- ED = 12 cm
- AE = 2 cm
- BE = 4 cm
Sorulan: A(ABCD) kaç cm²’dir?
Adım 1 – Alan Formülü
Verilen dörtgen, iki üçgenin alanlarının toplamıyla bulunabilir.
- Üçgen 1 (ADE):
Alan formülü:
A = \frac{1}{2} \cdot taban \cdot yükseklik
Taban AD = AE + ED = 2 + 12 = 14 cm.
Yükseklik = CD = 13 cm.
A(ADE) = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 13 = 91 \, \text{cm}^2
- Üçgen 2 (BEC):
Taban BE = 4 cm, yükseklik aynı şekilde CD = 13 cm.
A(BEC) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 13 = 26 \, \text{cm}^2
Adım 2 – Alanların Toplamı
A(ABCD) = A(ADE) + A(BEC)
A(ABCD) = 91 + 26 = 117 \, \text{cm}^2
Sonuç:
A(ABCD) = 117 \, \text{cm}^2.
3. Soru (ABCD alanı bulunacak)
Verilenler:
- |AC| = 6 cm
- |DB| = 4 cm
- \angle CAB = 15^\circ
- \angle DBA = 30^\circ
Sorulan: A(ABCD) kaç cm²’dir?
Adım 1 – Trigonometri ile Alan Hesabı
Bu tip sorularda dörtgenin alanı, iki üçgenin alanlarının toplamı ile bulunur.
- Üçgen 1 (CAB):
Taban: AC = 6 cm, sin \angle CAB = sin 15^\circ.
Alan formülü:
A = \frac{1}{2} \cdot taban \cdot yükseklik \cdot \sin açı
Değerleri yerine koyalım:
A(CAB) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot sin15^\circ \approx 12 \cdot 0.26 = 3.12 \, \text{cm}^2
- Üçgen 2 (DBA):
Taban: DB = 4 cm, \sin30^\circ = 0.5.
A(DBA) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot sin30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 0.5 = 12 \, \text{cm}^2
Adım 2 – Alanların Toplamı
A(ABCD) = A(CAB) + A(DBA)
A(ABCD) = 3.12 + 6 = 9.12 \,\text{cm}^2
Sonuç:
A(ABCD) = 9.12 cm².
Çözüm Özet Tablosu
| Soru No | Sorulan | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Soru | BC = x kaç birimdir? | BC = \sqrt{89} (≈9.4) |
| 2. Soru | A(ABCD) alanı | 117 cm² |
| 3. Soru | A(ABCD) alanı | 9.12 cm² |
Eğer başka sorularınız varsa, her zaman yardımcı olmaya hazırım! 
@Elmass1
Bu üç geometri sorusunu adım adım inceleyerek çözelim.
İçindekiler
- Birinci Soru: BC uzunluğunu bulma
- İkinci Soru: Dörtgende alan hesabı (AC ⟂ BD)
- Üçüncü Soru: Verilen açılar ve diagonal uzunluklarıyla alan hesabı
- Çözümlerin Özet Tablosu
- Genel Özet
1. Birinci Soru: BC uzunluğunu bulma
Aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- Dörtgen $ABCD$’de
- AD \perp AB
- DC \perp CB
- AD = 7 br
- AB = 5 br
- DC = 8 br
- İstenen: BC = x ?
Bu verileri bir koordinat düzlemine yerleştirerek çözebiliriz:
-
Nokta Seçimi:
- A noktasını orijin olarak alalım: A=(0,0).
- AB=5 birim ve AB \perp AD denildiği için $B$’yi (5,0) konumuna koyalım.
- AD=7 birim ve A=(0,0) olduğundan, $D$’yi de (0, -7) olarak alabiliriz.
-
Nokta C’nin Yerini Belirleme:
- D=(0,-7) ve DC=8 birim ise C=(x_C,y_C) noktası,DC=8 \implies (x_C - 0)^2 + (y_C + 7)^2 = 64.
- DC \perp CB koşulundan,\text{slope}(DC)\times \text{slope}(CB) = -1.Burada\text{slope}(DC) = \frac{y_C - (-7)}{x_C - 0} = \frac{y_C+7}{x_C}, \quad \text{slope}(CB) = \frac{0 - y_C}{5 - x_C}.Çarpımları -1 olur:\frac{y_C+7}{x_C} \cdot \frac{-y_C}{5 - x_C} = -1 \;\; \Longrightarrow \;\; y_C(y_C+7) = x_C(5-x_C).
- D=(0,-7) ve DC=8 birim ise C=(x_C,y_C) noktası,
-
Denklemleri Çözme ve BC Hesabı:
- Sistem çözülünce C için iki olası konum çıkar, ancak her iki durumda da BC uzunluğu \sqrt{10} bulunur. Koordinat hesabında:BC = \sqrt{(x_C - 5)^2 + (y_C - 0)^2} \approx \sqrt{10}.
- Sistem çözülünce C için iki olası konum çıkar, ancak her iki durumda da BC uzunluğu \sqrt{10} bulunur. Koordinat hesabında:
Sonuç:
\boxed{BC = \sqrt{10} \text{ (yaklaşık }3{,}16\text{)}}.
2. İkinci Soru: Dörtgende alan hesabı (AC ⟂ BD)
Burada, ABCD adlı bir dörtgenin köşegenleri AC ve BD birbirine diktir: AC \perp BD. Şu veriler bulunur:
- CD = 13 cm
- ED = 12 cm (burada E, AC ve BD köşegenlerinin kesişim noktası)
- AE = 2 cm
- BE = 4 cm
- İstenen: A(ABCD), yani dörtgenin alanı.
Adımlar
-
Köşegenlerin Toplam Uzunluğu:
- BD: BE + ED = 4 + 12 = 16 cm.
- AC: AE + EC. Fakat E noktası CD kenarıyla da üçgen oluşturur (\triangle CED).
-
Üçgen $CED$’de Pisagor:
- CD = 13 ve ED = 12 olduğuna göre, CE = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = 5.
- Böylece AC = AE + EC = 2 + 5 = 7 cm.
-
Dörtgenin Alanı (Köşegenler Dik):
- İki dik köşegenin kesişmesiyle alan formülü:A(ABCD) = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 7 \times 16 = 56.
- İki dik köşegenin kesişmesiyle alan formülü:
Sonuç:
\boxed{A(ABCD) = 56 \text{ cm}^2}.
3. Üçüncü Soru: Verilen açılar ve diagonal uzunluklarıyla alan hesabı
Dörtgende:
- AC = 6 cm
- DB = 4 cm
- \angle CAB = 15^\circ
- \angle DBA = 30^\circ
- İstenen: A(ABCD) ?
Bu tip sorularda genellikle köşegenlerin kesişme açısı toplam açılarla ilişkilendirilir. Sıklıkla, AC ve BD köşegenlerinin oluşturduğu açı (örneğin \theta) bu iki açıya (15° ve 30°) bağlıdır. Çok yaygın bir geometri kuralı, şeklin çiziminden de görüleceği üzere, köşegenler arasındaki açı 15^\circ + 30^\circ = 45^\circ olarak verilebilir (sorudaki şekil bu şekilde konumlanmıştır).
Dörtgenin alanı (iki köşegen ve aralarındaki açı biliniyorsa):
A(ABCD) = \frac{1}{2}\, \cdot AC \,\cdot DB \,\cdot \sin(\theta).
Burada $\theta = 45^\circ$’tir. Dolayısıyla:
A(ABCD) \;=\; \frac{1}{2}\times6\times4\times \sin(45^\circ) \;=\; 12\,\times \frac{\sqrt{2}}{2} \;=\; 6\sqrt{2}.
Sonuç:
\boxed{A(ABCD) = 6\sqrt{2} \text{ cm}^2 \; (\approx 8{,}49\text{ cm}^2)}.
4. Çözümlerin Özet Tablosu
| Soru | Bulunan Nicelik | Değer |
|---|---|---|
| 1. ABCD – AD \perp AB, DC \perp CB, … | BC | \sqrt{10} \approx 3{,}16 |
| 2. ABCD – AC \perp BD, … | A(ABCD) | 56 \text{ cm}^2 |
| 3. ABCD – AC=6, DB=4, \angle CAB=15^\circ, … | A(ABCD) | 6\sqrt{2} \text{ cm}^2 |
5. Genel Özet
• Birinci soruda, verilen diklik koşulları sayesinde koordinat sisteminde noktaları yerleştirerek BC=\sqrt{10} olarak bulundu.
• İkinci soruda, köşegenleri dik olan bir dörtgende alan formülünden yararlanılıp 56 \text{ cm}^2 sonucu elde edildi.
• Üçüncü soruda, iki köşegenin uzunluğu ve aralarındaki açı 45^\circ alınıp klasik \tfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\theta) formülüyle 6\sqrt{2} \text{ cm}^2 bulundu.
Bu üç soruda da temel yöntem, ya koordinat yerleştirme ya da dik köşegenler (veya köşegen-açı ilişkileri) üzerinden alan ve uzunluk hesabı yapmaktır.