GONDER GELSIN
1.
x, y ve z birer tam sayıdır.
• X•y =-2
• y•z =5
• X> 0’dır.
olduğuna göre, x +y +2 toplamı kaçtır?
A) -7
B) -6
C) -5
D) -4
E) -3
Tam Sayılarda Çarpma ve Değer Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- x, y, z \in \mathbb{Z} (Tam sayılar kümesi: pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfır)
- a \cdot b = c denkleminde a ve b sayıları, c sayısının birer bölenidir (çarpanıdır).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — x ve y Değişkenlerinin Olası Değerlerini Belirleme
Soruda x > 0 olduğu, yani x’in pozitif bir tam sayı olduğu belirtilmiştir. x \cdot y = -2 eşitliğini sağlayan pozitif x tam sayı çarpanları 1 veya 2 olabilir:
- Durum 1: x = 1 ise y = -2 olur.
- Durum 2: x = 2 ise y = -1 olur.
Adım 2 — y \cdot z = 5 Eşitliğini ve Tam Sayı Şartını İnceleme
z’nin de bir tam sayı olması gerektiğinden, her iki durumu ikinci denklemde yerine koyalım:
- Durum 1 için (y = -2):
-2 \cdot z = 5 \implies z = -\frac{5}{2} \notin \mathbb{Z}
(z tam sayı çıkmadığı için bu durum elenir.)
- Durum 2 için (y = -1):
-1 \cdot z = 5 \implies z = -5 \in \mathbb{Z}
(Tüm şartlar sağlandı: x = 2 > 0, y = -1, z = -5 hepsi birer tam sayıdır.)
Adım 3 — İstenen Toplamı Hesaplama
Bulunan değerleri toplayalım:
x + y + z = 2 + (-1) + (-5)
x + y + z = 2 - 1 - 5 = -4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) -4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ortak Çarpan: y sayısı hem -2’nin hem de 5’in böleni olmak zorundadır. 5’in tam sayı bölenleri yalnızca \pm 1 ve \pm 5 olduğundan, y değeri ancak -1 olabilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: İlk denklemden x = 1 ve y = -2 seçip ikinci denklemde z’nin tam sayı olup olmadığını kontrol etmemek.- Doğru Yaklaşım: Ortak olan bilinmeyenin (y) her iki denklemdeki tam sayı şartını aynı anda sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.
Bu soru tipinde ortak çarpan mantığını pekiştirmek için benzer bir alıştırma çözmek ister misin?
@sorumatik_ai Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla
Tam Sayı Çarpanları Yöntemiyle Adım Adım Açıklama
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İşaret Kuralı: (+) \cdot (-) = (-) ve (-) \cdot (-) = (+)
- Tam Sayı Bölünebilirliği: Bir çarpım sonucunu veren çarpanlar, o sonucun tam bölenleridir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Bu tarz sorularda en kolay ve garantili yol, her iki denklemde de ortak olan harften (y) yola çıkmaktır.
Adım 1 — Ortak Harf Olan y’nin İşaretini Belirleme
Sorudaki ilk bilgiye bakalım:
x \cdot y = -2
- Soruda x > 0 verilmiş, yani x pozitif (+) bir sayıdır.
- İki sayının çarpımı negatif (-2) olduğuna göre, y sayısı kesinlikle negatif (-) bir sayı olmak zorundadır.
Adım 2 — y’nin Değerini Bulma
y sayısı hem birinci hem de ikinci denklemde yer almaktadır:
- x \cdot y = -2 \implies y sayısı -2’nin bir bölenidir.
- y \cdot z = 5 \implies y sayısı 5’in bir bölenidir.
5 sayısının bölenleri yalnızca \pm 1 ve \pm 5’tir.
y negatif olduğuna göre y sayısı sadece -1 veya -5 olabilir.
Fakat -5 sayısı -2’yi tam bölemez. Dolayısıyla hem -2’yi hem de 5’i tam bölen tek negatif tam sayı:
y = -1
Adım 3 — x ve z Değerlerini Hesaplama
Bulduğumuz y = -1 değerini denklemlerde yerine yazalım:
- Birinci denklem:
x \cdot (-1) = -2 \implies x = 2
(x = 2 > 0 şartı sağlandı.)
- İkinci denklem:
(-1) \cdot z = 5 \implies z = -5
(z = -5 bir tam sayıdır, şart sağlandı.)
Adım 4 — Toplamı Hesaplama
Tüm değerleri bulduk: x = 2, y = -1, z = -5.
Bu üç değeri toplayalım:
x + y + z = 2 + (-1) + (-5)
x + y + z = 2 - 1 - 5 = -4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) -4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ortak Çarpan Stratejisi: Birden fazla çarpım denklemi verildiğinde denklemleri tek tek denemek yerine, ortak olan bilinmeyenin her iki sayının da ortak böleni olması gerektiği kuralı doğrudan çözüme götürür.
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hatalı Yaklaşım: Sadece ilk denkleme bakarak x = 1, y = -2 seçip ikinci denklemde yerine koyunca z’nin kesirli çıkacağını gözden kaçırmak.
- Doğru Yaklaşım: Ortak çarpan olan y’nin her iki denklemi de aynı anda tam sayı yapıp yapmadığını kontrol etmek.
Mantığın tam oturması için, işaretlerin farklı olduğu benzer bir soru üzerinde pratik yapmak ister misin?