GO30 MADEIN TORKIY
BLUEB 69240o4 2220e
5. 4+ 0
Denk Sag lqyan x gerçet Sayıarnn
Toplkw,?
Rasyonel İfadeli İkinci Dereceden Denklem Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Paydayı sıfır yapan değerler tanımsızlık oluşturur: x \neq 0
- İkinci dereceden ax^2 + bx + c = 0 denkleminde kökler toplamı:
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tanım Kümesini Belirleme ve Paydaları Eşitleme
Rasyonel ifadelerde payda sıfır olamaz, bu nedenle x \neq 0 olmalıdır. Denklemin her iki tarafını x^2 ile çarparak kesirlerden kurtulalım:
x^2 \cdot \left(1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}\right) = x^2 \cdot 0
x^2 + 2x - 3 = 0
Adım 2 — Denklemi Çarpanlarına Ayırma ve Kökleri Bulma
Çarpımları -3, toplamları +2 olan iki sayı +3 ve -1’dir:
(x + 3)(x - 1) = 0
Buradan denklemi sağlayan x değerleri:
x + 3 = 0 \implies x_1 = -3
x - 1 = 0 \implies x_2 = 1
Her iki değer de x \neq 0 şartını sağladığı için geçerli birer gerçek köktür.
Adım 3 — Kökler Toplamını Hesaplama
Bulunan gerçek köklerin toplamı:
x_1 + x_2 = (-3) + 1 = -2
(Alternatif olarak; x^2 + 2x - 3 = 0 denkleminde a = 1, b = 2 olduğundan Vieta bağıntısı ile doğrudan -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2 bulunur.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
-2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Rasyonel Denklem: Değişkenin paydada yer aldığı denklemlerdir. Çözüme başlamadan önce paydayı sıfır yapan kökler (tanımsızlık noktaları) elenmelidir.
- Vieta Teoremi: ax^2 + bx + c = 0 denkleminin gerçek kökleri varsa, kökler toplamı doğrudan -\frac{b}{a} formülüyle hesaplanabilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Paydayı sıfır yapan değeri kontrol etmeden tüm kökleri çözüm kümesine dahil etmek veya formülü ezbere uygularken köklerin gerçek sayı olup olmadığını (\Delta \ge 0) kontrol etmemek.- Doğru Yaklaşım: İlk olarak x \neq 0 şartı konulmalı, ardından bulunan köklerin bu şartı ve gerçek sayı olma durumunu sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmelidir.
Bu sorudaki mantığı pekiştirmek için benzer bir rasyonel denklem sorusu daha çözmek ister misin?