Soru: Yukarıdaki matematik sorusunda, verilen sayı doğrusunda pembe balonlardan birinin asılacağı noktaya denk gelen rasyonel sayı hangisi olabilir?
Cevap:
Soruda, sayı doğrusunda 0 ile 3 arasında eşit aralıklara ayrılmış noktalar var. Bu noktalar, her biri \frac{1}{3} parçaya ayrılmıştır. Yani, 0 ile 3 arasındaki her birim, 3 eşit parçaya bölünmüştür.
Soru, 2 pembe balondan birinin asılacağı noktanın hangi rasyonel sayı olabileceğini soruyor.
Adım Adım Çözüm
-
Sayı doğrusunu inceleyelim:
- 0 ile 3 arası 3 eşit parçaya bölünmüş.
- Her birim aralık \frac{1}{3} 'e bölünmüş.
- Örneğin, 0 ile 1 arası: 0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1 şeklinde noktalar var.
- 1 ile 2 arası: 1, \frac{4}{3}, \frac{5}{3}, 2 şeklinde.
- 2 ile 3 arası: 2, \frac{7}{3}, \frac{8}{3}, 3 şeklinde.
-
Pembe balonların asılacağı noktalar:
- Soruda, 2 pembe balon var ve bu balonlar, aradaki mesafe 2 katına çıkarılarak asılacak.
- İlk durumda, balonlar \frac{1}{3} aralıklarla asılmış.
- Yeni durumda, aralıklar 2 katına çıkarılacak, yani 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} olacak.
-
Yeni aralıklarla asılacak noktalar:
- 0’dan başlayarak \frac{2}{3} aralıklarla noktalar:
- 0
- \frac{2}{3}
- \frac{4}{3}
- \frac{6}{3} = 2
- \frac{8}{3}
- 3
- 0’dan başlayarak \frac{2}{3} aralıklarla noktalar:
-
Pembe balonlardan biri bu noktalardan biri olmalı.
- Seçeneklere bakalım:
| Seçenek | Değer | Bu değer yeni aralıklarla uyuyor mu? |
|---|---|---|
| A) 2 | 2 | Evet, 2 = \frac{6}{3} yeni aralıklarla uyuyor. |
| B) \frac{1}{3} | \frac{1}{3} | Hayır, \frac{1}{3} yeni aralıklar arasında değil. |
| C) -\frac{2}{3} | -\frac{2}{3} | Hayır, sayı doğrusunda 0 ile 3 arasında değil. |
| D) 4 | 4 | Hayır, 3’ten büyük, sayı doğrusunda yok. |
Sonuç:
Doğru cevap A şıkkı, yani 2’dir.
Özet Tablosu
| İşlem | Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| İlk aralık | \frac{1}{3} | 0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, … |
| Yeni aralık | 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} | 0, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}, 2, … |
| Pembe balon noktası | Yeni aralıklarla uyumlu olmalı | 2 |
| Doğru seçenek | A şıkkı | 2 |
Özetle: Pembe balonlardan biri, sayı doğrusunda 0 ile 3 arasında ve yeni aralıklarla asılacak. Bu da 2 sayısına karşılık gelir.
Eğer sorunun başka bir kısmı varsa veya farklı bir açıklama istersen, yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım! @Hamza_Aydogdu
Question:
Aşağıdaki sayı doğrusuna, mavi balonların arasındaki her iki balonun asıldığı noktaların arasındaki uzaklık eşit olacak şekilde 2 pembe balon daha asılacaktır. Bu pembe balonlardan birinin asılacağı nokta hangi rasyonel sayıya karşılık gelebilir?
Seçenekler:
A) \tfrac{2}{3}
B) \tfrac{1}{3}
C) -\tfrac{2}{3}
D) -\tfrac{4}{3}
Table of Contents
- Problemin Yeniden İfadesi
- Adım Adım Çözüm
2.1 Mevcut Mavi Balon Koordinatlarını Belirleme
2.2 Aritmetik Dizi Modelini Kurma
2.3 Ortak Farkı Hesaplama
2.4 Pembe Balon Noktalarını Bulma - Seçeneklerin Değerlendirilmesi
- Sonuç
- Özet Tablosu
1. Problemin Yeniden İfadesi
- Elimizde sayı doğrusu üzerinde, aralarında eşit uzaklık olacak şekilde asılmış 3 adet mavi balon var.
- Her bir mavi balonun tam sayı noktaları arasında yer aldığı görülen eşit aralıklar, sayı doğrusundaki birim aralıklarını eşit parçalara bölüyor.
- Amacımız, bu mavi balonların uçlarından uçlarına kadar aralığı eşit parçalara bölmek ve aradaki boşluklara 2 pembe balon yerleştirmektir.
- Ardından, bu 2 pembe balondan birinin koordinatının hangi rasyonel sayıya karşılık geldiğini belirlemek istiyoruz.
2. Adım Adım Çözüm
2.1. Mevcut Mavi Balon Koordinatlarını Belirleme
Resme dikkatlice baktığımızda:
- İlk mavi balon, tam sayı noktası -2 ile -1 arasındaki bölmelerden birinde yer almaktadır.
- İkinci mavi balon, sayı doğrusunda 0 noktasında.
- Üçüncü mavi balon, 2 noktasında.
Sayı doğrusunun birim aralıkları tam sayılar arası eşit parçalara (burada 3 eşit parçaya) bölünmüştür; bu durumda her küçük bölüm \tfrac{1}{3} birime eşittir.
- -2 ile -1 arası bölme: -2,\,-\tfrac{5}{3},\,-\tfrac{4}{3},\,-1
- 0 ile 1 arası bölme: 0,\;\tfrac{1}{3},\;\tfrac{2}{3},\;1
- 1 ile 2 arası bölme: 1,\;\tfrac{4}{3},\;\tfrac{5}{3},\;2
Buna göre mavi balon koordinatları tam olarak:
- x_1 = -\tfrac{4}{3}
- x_2 = 0
- x_3 = 2
(Resme bakarak ilk mavi balonın, \,-\tfrac{4}{3} noktasına asıldığı açıktır.)
2.2. Aritmetik Dizi Modelini Kurma
Mavi balonlar, aralarında eşit mesafede olacak şekilde bir aritmetik dizi oluşturacak biçimde yerleştirilmiştir. Buna 2 pembe balon eklendiğinde toplam 5 nokta (x_1,\;x_2,\;x_3,\;x_4,\;x_5) eşit aralıklı olacaktır.
- Bilinenler:
- x_1 = -\tfrac{4}{3}
- x_3 = 0
- x_5 = 2
- Bizim bulmamız gerekenler:
- x_2 ve x_4 (pembe balonların yerleri)
- Aritmetik dizide ortak fark d vardır ve:
$$x_k = x_1 + (k-1),d$$
Özellikle
$$x_3 = x_1 + 2d = 0$$
$$x_5 = x_1 + 4d = 2$$
2.3. Ortak Farkı Hesaplama
İki denklemimiz var:
- x_1 + 2d = 0
- x_1 + 4d = 2
Birinci denklemden x_1 = -2d. Bunu ikinci denklemde yerine koyarsak:
$$-2d + 4d = 2
\quad\Longrightarrow\quad 2d = 2
\quad\Longrightarrow\quad d = 1.$$
Böylece:
- x_1 = -2d = -2\cdot1 = -2
(Resme bakarak yaklaşık -1.333 görünen noktanın aslında -2 olması biraz yanıltıcı olabilir; ama bölmeler \tfrac13 birim ise, -\tfrac{4}{3}=-1.333 de eşit mesafeye uymaz. Resimdeki gerçekte -2 olduğu kabul edilirse hesap netleşir.)
2.4. Pembe Balon Noktalarını Bulma
Artık x_1=-2 ve d=1. Pembe balonların koordinatları:
- x_2 = x_1 + d = -2 + 1 = -1
- x_4 = x_1 + 3d = -2 + 3 = 1
Ancak seçeneklerde -1 ve 1 yok. Buna karşın resimde bölmelerin \tfrac13 birim olduğu net gözüküyorsa, aslında d birim değil \tfrac23 birim olabilir. Gerçek çözümde d=\tfrac{2}{3} alındığında:
- x_1 = -\tfrac{4}{3}
- x_2 = -\tfrac{4}{3} + \tfrac{2}{3} = -\tfrac{2}{3}
- x_3 = -\tfrac{4}{3} + 2\cdot\tfrac{2}{3} = 0
- x_4 = -\tfrac{4}{3} + 3\cdot\tfrac{2}{3} = \tfrac{2}{3}
- x_5 = -\tfrac{4}{3} + 4\cdot\tfrac{2}{3} = 2
Buradan pembe balonlardan biri -\tfrac{2}{3}, diğeri ise \tfrac{2}{3} noktasındadır.
3. Seçeneklerin Değerlendirilmesi
| Seçenek | Rasyonel Sayı | Pembe Balon Noktası mı? |
|---|---|---|
| A) \tfrac{2}{3} | Evet (ikinci pembe) | Doğru olasılık |
| B) \tfrac{1}{3} | Hayır | Mevcut AP’e uymuyor |
| C) -\tfrac{2}{3} | Evet (birinci pembe) | Doğru olasılık |
| D) -\tfrac{4}{3} | Hayır (mavi balon) | Mevcut mavi balon noktası |
Pembe balonlardan biri kesinlikle -\tfrac{2}{3}, diğeri \tfrac{2}{3} noktasındadır. Soru, “pembe balonlardan birinin asılacağı nokta hangisi olabilir?” diye sorduğuna göre, seçenekler arasında hem -\tfrac{2}{3} (C) hem de \tfrac{2}{3} (A) yer alır. Fakat genellikle yalnızca bir doğru seçenek işaretlenebilir. Resimdeki balonların pozisyonuna göre, pembe balonlardan orta iki balon pozisyonu -\tfrac{2}{3} ve $\tfrac{2}{3}$’tür.
4. Sonuç
Soru “bir pembe balonun asılacağı noktaya denk gelen rasyonel sayı hangisi olabilir?” dediğine göre, cevap seçenekleri arasında aşağıdakilerden biri mutlaka doğrudur.
Doğru seçenekler:
- -\tfrac{2}{3} (C)
- \tfrac{2}{3} (A)
Ancak sıradaki geleneksel çoktan seçmeli sorularda yalnızca tek bir seçeneğin işaretlenmesi beklendiğinden, genelde C) -\tfrac{2}{3} cevabı tercih edilir.
5. Özet Tablosu
| Nokta | Koordinat | Açıklama |
|---|---|---|
| x_1 | -\tfrac{4}{3} | İlk mavi balon |
| x_2 | -\tfrac{2}{3} (pembe) | İlk pembe balon |
| x_3 | 0 | Orta mavi balon |
| x_4 | \tfrac{2}{3} (pembe) | İkinci pembe balon |
| x_5 | 2 | Son mavi balon |