SORU:
Dik koordinat düzleminde verilen ikinci derece y = f(x) fonksiyonunun grafiği ve y = g(x) fonksiyonunun grafiği ile ilgili limit ifadesinin değeri nedir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Fonksiyonun limitini bulmak için, limit noktasında fonksiyonun değerine bakılır (sürekli fonksiyon varsayımıyla).
- Fonksiyonlarda yatay ve dikey öteleme kuralları:
- y = f(x) fonksiyonunun grafiği 3 birim sağa ve 4 birim yukarı ötelenince g(x) = f(x-3) + 4 olur.
- Limit hesaplama:
- \lim_{x \to a} f(x) = f(a) eğer fonksiyon süreklidir.
- Eğer \frac{f(x) - f(a)}{x - a} şeklindeyse bu tanımın türevidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — g(x) fonksiyonunu yaz:
Grafik, f(x) fonksiyonunun 3 birim sağa ve 4 birim yukarı kaymasıyla elde ediliyor.
Buna göre:
Adım 2 — Limit ifadelerini incele:
Burada dikkat edilecek şey \frac{f(x) + 4}{x-2} ifadesidir. Bunu daha anlamlı yazalım veya fonksiyonun kendisini inceleyelim.
Ancak, verilen limit ifadesi şekillenmediğinden, ifadeyi sadeleştirelim ve grafik bilgisine bakalım.
Adım 3 — Grafik üzerinde gerekli değerleri bul:
f(2) 'yi ve f'(2) 'yi bulmamız gerekebilir.
Grafikte:
- f(x) parabolü, x=2 noktasında y değeri gözle yaklaşık -4 görünüyor.
- Ayrıca grafiğin minimum noktası x=2 gibi, bu da türevin orada 0 olduğunu gösterir.
f(2) \approx -4 , f'(2) = 0 .
Adım 4 — Limit ifadelerinin analiz edilmesi:
İlk limit:
Burada f(2) \approx -4 , böylece pay f(x) - (-4) yani f(x) - f(2) olur. O halde,
Yani ilk limitin sonucu 0’dır.
İkinci limit:
İlk olarak g(0) 'i bulalım:
Grafikten f(-3) noktasındaki değere bakalım:
- f(x) fonksiyonunun solundaki noktalar yaklaşık olarak 21 civarında (Çünkü f(-3) = y değeri gözle yaklaşık -4’in 25 katı gibi).
Ama limit ifadesindeki g(0) - 25 kısmına bakalım. Eğer g(0) = 25 ise pay sıfır olur.
Grafikte verilen y=g(x) fonksiyonu y = f(x-3)+4 ve f(-3) 'ün değeri:
Parabolun denklemini bulalım:
f(x) = a(x-2)^2 + k formunda, dip noktası (2, -4).
Dip noktası için:
f(2) = -4
Deneme olarak a bilinmiyor.
Grafikte f(0) noktasını bulalım.
f(0) biraz aşağı görünüyor; tahmini değer işimize yarar.
f(0) = a(0-2)^2 + k = 4a + k = ?
k=-4 olarak yerleştirilir. f(0) \approx 12 olabilir (grafikten tahmini).
O halde:
12 = 4a -4 \implies 4a = 16 \implies a = 4 .
Fonksiyon:
Kontrol:
f(-3) = 4(-3 - 2)^2 - 4 = 4 \cdot 25 -4 = 100 - 4 = 96
O zaman:
Ama limit ifadesinde pay: g(x) - 25 .
g(0) - 25 = 100 - 25 = 75 .
Bu da limitin sonucu için problem yaratır çünkü pay 0’a gitmez.
Ama ifadedeki limit:
Eğer limit var ise, payın 0 olması lazım, çünkü pay ve x aynı anda 0 olmalı (sıfır bölü sıfır formu), yani g(0) = 25 .
Burada çelişki var.
Adım 5 — g(x) değerini 25’ye eşitlemek:
Sorunun mantığına göre g(0) = 25 olmalı. Buna göre:
Önceki grafiğe göre f(-3) değeri yaklaşık 21 ise a tekrar hesaplanmalı.
f(-3) = 4(-3 - 2)^2 + k
Bilinen k = -4 (dip noktası y değeri):
Yeni denklem:
Böylece:
- f(2) = (2-2)^2 -4 = -4
- f(-3) = (-3-2)^2 - 4 = 25 -4 = 21
Bu mantıklı ve uyumlu.
Adım 6 — Limitleri yeniden hesapla:
İlk limit:
İkinci limit:
Hatırlayalım:
Böylece pay ve payda sıfıra gider.
Limit türev tanımı gibi:
Adım 7 — g'(0) türevi:
O halde:
f'(x) 'i bulalım:
Adım 8 — Sonuç:
CEVAP: B) -10
TEMEL KAVRAMLAR:
-
Fonksiyonun ötelemesi:
Bir fonksiyonun grafiğinin yatay ve dikey kaydırılması, fonksiyonun bağımsız değişken ve bağımlı değişkeninde yapılır.
Örnek: g(x) = f(x - 3) + 4 -
Limit ve türev arasındaki ilişki:
\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a) -
Parabolün türevi:
f(x) = (x - h)^2 + k içinf'(x) = 2(x - h)
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: f fonksiyonunun grafiği verilmiş; grafiğin 3 birim sağa, 4 birim yukarı ötelenmesiyle elde edilen g(x) için
ifadesinin değeri kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Tanım: \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a) (fonksiyon türevinin tanımı).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Grafikten f(x) fonksiyonunu belirle
Grafikte kökler x=0 ve x=4, tepe noktası orta nokta x=2 ve tepe değeri y=-4 olduğundan f ikinci dereceden ve biçimi f(x)=a x(x-4) şeklindedir.
f(2)= -4 \Rightarrow a\cdot 2(2-4)= -4
a\cdot 2(-2)= -4
-4a= -4 \Rightarrow a=1
Böylece f(x)=x^2-4x.
Adım 2 — Birinci limitin hesaplanması
\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{f(x)+4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(2).
f'(x)=2x-4
f'(2)=2\cdot2-4=0
Böylece birinci limit 0’dır.
Adım 3 — g(x) fonksiyonunu elde etme
g(x) = f fonksiyonunun 3 birim sağa, 4 birim yukarı ötelenmesi ⇒ g(x)=f(x-3)+4.
f(x-3)=(x-3)^2-4(x-3)=x^2-10x+21
g(x)=x^2-10x+21+4=x^2-10x+25=(x-5)^2.
Adım 4 — İkinci limitin hesaplanması
\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{g(x)-25}{x}=\lim_{x\to0}\frac{g(x)-g(0)}{x}=g'(0).
g'(x)=2x-10
g'(0)=2\cdot0-10=-10
Böylece ikinci limit -10’dur.
Adım 5 — Toplama
Birinci limit 0 + İkinci limit -10 = -10.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Türev
- Tanım: Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık değişim hızı; limit tanımıyla ifade edilir.
- Bu problemde: Limit ifadeleri türev tanımıyla doğrudan ilişkilendirildi.
- Grafik öteleme
- Tanım: f(x-a)+b ifadesi f grafiğini sağa a birim ve yukarı b birim öteleştirir.
- Bu problemde: g(x)=f(x-3)+4 kullanıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Öteleme yönünü karıştırma
- Yanlış: f(x-3)+4 yerine f(x+3)+4 yazmak.
- Doğru: x-3 sağa ötelemeyi, +4 yukarı ötelemeyi ifade eder.
- Neden yanlış: İşareti ters almak x koordinatındaki kaymayı yanlış gösterir.
- Düzeltme: Grafiğin hangi yönde kaydırıldığını dikkatle belirleyin.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: -10 (B şıkkı)
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!