Soru:
Defnenin okuduğu kitabın adında kitap ayracının kaybolduğunu fark etmiş. Defne’nin son okuduğu sayının numarasının 300’le ve 7’nin katı olduğunu hatırlamaktadır.
Buna göre:
a) Defne’nin son okuduğu sayfa numarasının alabileceği değerleri gösteren fonksiyonu ortak özellik yöntemi ile gösteriniz.
b) Defne’nin son okuduğu sayfa numarasının kaç farklı değer alabileceğini bulunuz.
Cevap:
1. Problemin Analizi
Defne’nin okuduğu sayfa numarası hem 300’ün, hem de 7’nin katı olan sayılardan biridir. Yani:
- Sayfa numarası 300'ün katı olmalıdır, yani bir tam sayı k için:
s = 300k - Aynı zamanda 7'nin de katı olmalıdır, yani bir tam sayı m için:
s = 7m
Bu iki koşulu sağlayan sayılar, hem 300’e hem de 7’ye bölünebilen sayılardır. Başka bir deyişle, sayı 300 ve 7’nin ortak katı olmalıdır.
2. Fonksiyonun Oluşturulması (Ortak Özellik Yöntemi)
İki sayının ortak katlarının en küçüğüne EKOK (En Küçük Ortak Kat) denir.
- 300 ve 7 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:
- 300 = 2^2 \times 3 \times 5^2
- 7 bir asal sayı.
Bu yüzden EKOK:
\text{EKOK}(300,7) = 2^2 \times 3 \times 5^2 \times 7 = 2100
Böylece Defne’nin son okuduğu sayfa numarası 2100'ün katı olmalıdır.
Sayfa numarasını 2100n şeklinde gösterebiliriz, burada n pozitif tam sayıdır.
3. Defne’nin Son Okuduğu Sayfa Numarasının Alabileceği Değerler
Sayfa numaraları genellikle sonsuz olabilir ama mantıklı bir sınır vardır. Fakat soruda bu konu belirtilmediği için genel olarak s = 2100n formunda sayfalar alabilir.
Ama soruda, son okunan sayfa numarasının olası değerleri soruluyor ve burada sayfa numarası 300 ile 700 arasında kalan sayılar gibi bir aralık mantıklı olabilir.
Fakat soruda böyle bir aralık belirtilmemiş.
4. B) Defne’nin Son Okuduğu Sayfa Numarasının Kaç Farklı Değer Alabileceği
Yukarıdaki analizde sadece s sayısının hem 300 hem de 7’nin katı olması gerektiğini öğrendik. Dolayısıyla s sayısı 2100n şeklinde ifade edilir.
Eğer s sayfa numarasının belirli bir aralıkta olduğunu kabul edersek (örneğin s sayfa numarası kitap sayfa sınırında ise), örneğin kitap 1’den 3000’e kadar sayfa varsa:
- s = 2100, 4200, 6300,... gibi 2100'ün katları olacaktır. Bu durumda:
- 2100 \leq s \leq 3000 aralığında sadece s=2100 olabilir.
- Böylece tek bir değer olabilir.
Ancak soruda aralık belirtilmediği için bu değerlerin genel formu s=2100n şeklindedir.
Özet Tablosu
| Adım | Açıklama | Sonuç/Formül |
|---|---|---|
| 1. Sayfa numarasının koşulu | Hem 300’ün hem 7’nin katı olmalı | s sayısı EKOK 300,7’nin katı |
| 2. EKOK hesaplama | 300=2^2 \times 3 \times 5^2, 7 asal sayı | \text{EKOK}(300,7) = 2100 |
| 3. Fonksiyon gösterimi | Sayfa değeri 2100 \times n | s=2100n, n \in \mathbb{N}^+ |
| 4. Farklı değer sayısı (aralık yok) | Sadece form belirtilmiş, farklı değer sonsuz olabilir | n pozitif tam sayı, sonsuz farklı değer |
| 5. Farklı değer sayısı (aralık varsa, örn s \leq 3000) | s=2100 tek değer olabilir | 1 değer |
Sonuç
- a) Defne’nin okuduğu sayfa numarasının alabileceği değerler s=2100n, n=1,2,3,... şeklindedir.
- b) Eğer belirli bir üst sınır yoksa sonsuz farklı değer alabilir. Ancak kitap sayfa sayısı gibi bir üst sınır varsa, bu sınır içinde kaç tane 2100’ün katı varsa o kadar farklı değer olabilir. Örneğin 3000 sayfa ise sadece 1 farklı değer (2100) olabilir.
Eğer daha fazla detay veya özel aralık gibi bir bilgi verirseniz, çözüm ona göre genişletilebilir.
Soru:
“Defterin en son okuduğu sayfa numarasının 300’den küçük ve 7’nin katı olduğunu biliyoruz.
a) Bu sayfa numarasının alabileceği değerleri ortak özellik yöntemiyle gösteriniz.
b) Bu sayfa numarasının kaç farklı değer alabileceğini bulunuz.”
İçindekiler
- Soru Tekrarı ve Anlamı
- a) Kümeyi Ortak Özellik Yöntemiyle Gösterimi
- b) Farklı Değer Sayısının Hesaplanması
- Adım Adım Çözüm Süreci
- Özet Tablosu
- Genel Özet
1. Soru Tekrarı ve Anlamı
– Verilen Bilgi: Defterin en son okuduğu sayfa numarası
• 300’den küçük
• 7’nin katı
– Amaç:
a) Bu sayfa numaralarının tümünü küme şeklinde yazmak
b) Bu kümedeki eleman sayısını bulmak
2. a) Kümeyi Ortak Özellik Yöntemiyle Gösterimi
Ortak özellik yöntemi (özellik yöntemi) ile bir küme, “{}” parantezi içinde, o kümenin elemanlarının taşıdığı özelliği belirterek yazılır.
Adımlar:
- Sayfa numarası x ile gösterilsin.
- x’in doğal sayı olması gerekir: x ∈ ℕ⁺.
- x < 300 ve 7’nin katıdır: 7│x.
Sonuç olarak:
A = { x ∈ ℕ⁺ | x < 300 ve 7│x }
İsterseniz “7k” formunda da yazabiliriz:
A = { 7k | k ∈ ℕ⁺, 7k < 300 }
3. b) Farklı Değer Sayısının Hesaplanması
Kümenin eleman sayısını (|A|) bulmak için 7’nin 300’den küçük katlarının adedini hesaplarız.
- 7k < 300 ⇒ k < 300/7 ≈ 42,857…
- k doğal sayı olduğuna göre en büyük k = 42.
- k = 1, 2, 3, …, 42 olmak üzere 42 farklı değer vardır.
Yani |A| = 42.
4. Adım Adım Çözüm Süreci
- Çarpanlar Dizisi Kurma:
7’nin katları: 7·1 = 7, 7·2 = 14, … - Üst Sınırı Belirleme:
7k < 300
k < 300 ÷ 7
k < 42,857… - En Büyük Tam Değer:
k_max = 42 - Terim Sayısının Hesabı:
k = 1’den k = 42’ye kadar değerler ⇒ toplam 42 terim. - Son Terimi Bulma (Kontrol):
7·42 = 294 (300’den küçükliği sağlıyor.)
Bu adımları herhangi bir aritmetik dizi formülüyle de özetleyebiliriz:
– İlk terim a₁ = 7
– Ortak fark d = 7
– Son terim aₙ = 7 + (n–1)·7 = 7n
7n ≤ 299 ⇒ n ≤ 42
– Terim sayısı n = 42
5. Özet Tablosu
| Özellik | Değer |
|---|---|
| İlk terim (a₁) | 7 |
| Ortak fark (d) | 7 |
| Genel terim formülü | aₙ = 7·n |
| En büyük terim (a₄₂) | 7·42 = 294 |
| Terim sayısı (n) | 42 |
6. Genel Özet
- Küme Gösterimi: A = { x ∈ ℕ⁺ | x < 300 ve 7│x } veya A = { 7k | k = 1, 2, …, 42 }.
- Farklı Değer Adedi: 42
Bu çözüm süreciyle hem kümeyi ortak özellik yöntemiyle tanımladık hem de sayfa numarasının alabileceği farklı değer adedini adım adım hesapladık. @ABDULNASIR_AKBABA