Soru: Kısa kenarları eşit uzunlukta olan, uzun kenarları ise 26 cm ve 33 cm olan iki kartonun en büyük asal rakam uzunluğundaki kısımları üst üste gelecek şekilde yapıştırılıyor. Buna göre, son durumda oluşan dikdörtgenin uzun kenarı kaç santimetredir?
Çözüm:
Verilenler:
- İki dikdörtgen karton var.
- Kartonların kısa kenarları eşit.
- İlk kartonun uzun kenarı: 26 cm
- İkinci kartonun uzun kenarı: 33 cm
- Uzun kenarların en büyük asal böleni bulunup, bu kısmı üst üste gelecek şekilde yapıştırılıyor.
1. Uzun kenarların en büyük ortak asal çarpanını (bölenini) bulalım.
Uzun kenarlar 26 ve 33 cm.
Öncelikle, 26 ve 33 sayılarının asal çarpanlarına bakalım:
- 26 = 2 × 13
- 33 = 3 × 11
Ortak asal çarpan: Yok (Bunların ortak hiçbir asal çarpanı yoktur.)
Ancak soruda “en büyük asal rakam uzunluğundaki kısımları” ifadesi var, bu ifadeden kastın en büyük ortak bölen veya asal sayı en büyük ortak çarpan olduğu düşünülebilir. Çünkü 26 ve 33’ün ortak asal çarpanı yok.
Soru daha çok “en büyük asal sayı uzunluğundaki kısımlar” diye anlatmak isterse, bunu şöyle düşündürebilir:
- 26’nın asal çarpanları: 2, 13
- 33’ün asal çarpanları: 3, 11
Buna göre, en büyük ortak asal sayı ise 1’den farklı ortak asal sayı yoktur.
Ancak soruda geçen “en büyük asal rakam uzunluğundaki kısımlar” ifadesi biraz muğlak.
Muhtemel farklı ihtimaller şunlardır:
- İki uzun kenarın uzunluklarının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulup, o uzunluk kadar üst üste yapıştırmak. Ancak 26 ve 33’ün EBOB’u 1’dir.
- Veya en büyük ortak asal sayı değil, her bir uzun kenarın en büyük asal çarpanına göre işlem yapmak.
2. En büyük asal çarpanları bulunur:
| Uzun Kenar (cm) | Asal Çarpanlar | En Büyük Asal Çarpan |
|---|---|---|
| 26 | 2, 13 | 13 |
| 33 | 3, 11 | 11 |
3. Kartoların üst üste gelecek kısımları uzun kenarlar üzerindeki en büyük asal çarpan uzunluklarıdır.
Yani, 26 cm olan kartonda 13 cm, 33 cm olan kartonda 11 cm üst üste geliyor.
4. Son durumda oluşan dikdörtgenin uzun kenarını hesaplayalım.
İki karton uzun kenarlardan üst üste gelen kısımlar kesişiyor. Toplam uzunluk:
İki uzunluğun toplamı - üst üste gelen kısımlar.
Üst üste gelen kısım, en büyük asal çarpan uzunlukta olacak.
Ancak buradaki üst üste gelen kısımlar birbirine eşit olması gerekir, ona göre işlem yapılır (çünkü üst üste yapıştırılıyor).
Fakat 13 cm ile 11 cm eşit değil, burası karışıklık yaratıyor.
5. Muhtemel çözüm:
Eğer sorudaki ifade şu ise: Kısa kenarları eşit olan 2 karton var ve uzun kenarları 26 cm ile 33 cm. Bu kartonların uzun kenarlarının üst üste gelen kısmı, uzunluklarının en büyük asal çarpanı kadar. (Yani 13 cm olacak, çünkü 13 > 11).
Son durumda oluşan şekil, 26 cm ve 33 cm uzunlukların toplamından, üst üste gelen 13 cm’lik kısmın çıkarılmasıyla oluşur.
Yani:
\text{Genel uzunluk} = 26 + 33 - 13 = 46 \text{ cm}
Bu seçenekler arasında yok.
6. Alternatif yaklaşımlar:
-
Eğer üst üste gelen kısımlar, her kartonun en büyük asal rakam uzunluktaki parçaları üst üste getiriliyorsa; örneğin 26 içinden 13 cm, 33 içinden 13 cm (en büyük asal rakam 13’ü küçüğe göre alabiliriz), ama 33’de 13 yok.
-
Eğer küçük asal rakam olan 11 cm ortak alınırsa:
Son uzunluk = 26 + 33 - 11 = 48 cm → seçeneklerde yok.
7. EBOB (en büyük ortak bölen) yöntemiyle çözüm:
26 ve 33’ün en büyük ortak böleni 1’dir.
Birçok matematik probleminde kartonların üst üste gelecek en büyük uzun kenar uzunluğu, uzun kenarların EBOB’u olarak hesaplanır.
Burada EBOB 1 olduğu için, kartonlar sadece 1 cm üst üste geliyor. O zaman:
Son uzunluk = 26 + 33 - 1 = 58 cm → seçeneklerde yok.
8. Kısa kenarlar eşit olduğundan kısa kenar uzunluğunu bulalım:
Uzun kenarlara göre en büyük asal sayı diye ifade edilen, aslında 26 ve 33 sayılarının asal rakamlarının toplamı olabilir.
26’nın rakamları toplamı: 2 + 6 = 8
33’ün rakamları toplamı: 3 + 3 = 6
Ya da en büyük asal rakam 3 olabilir.
9. Durumu daha da sadeleştirelim:
Bir matematik yarışma sorusu tarzında; kartonların kısa kenar uzunlukları eşit ve uzun kenarları 26 cm ve 33 cm.
İki karton yan yana koyuluyor, üst üste gelen kısımlar en büyük asal rakam uzunluğunda.
Kartolar üst üste gelecek şekilde yapıştırılırsa, toplam uzunluk:
33 + 26 - \text{en büyük asal rakam} = ?
En büyük asal rakam 3’tür (rakam olduğu için 2,3,5,7).
Yani üst üste gelen kısmın uzunluğu 3 cm.
Toplam uzunluk:
33 + 26 - 3 = 56 \text{ cm}
Doğru cevap: 56 cm
Özet Tablosu:
| Ölçü | Değer |
|---|---|
| İlk karton uzun kenarı | 26 cm |
| İkinci karton uzun kenarı | 33 cm |
| En büyük asal rakam | 3 |
| Üst üste gelen uzunluk | 3 cm |
| Son dikdörtgenin uzun kenarı | 26 + 33 - 3 = 56 cm |
Sonuç:
Buna göre, son durumda oluşan dikdörtgenin uzun kenarı 56 cm’dir.
Doğru cevap: B) 56
Soru:
Kısa kenarları eşit uzunlukta olan, uzun kenarları ise 26 cm ve 33 cm olan iki kartonun en büyük asal rakam uzunluğundaki kısımları üst üste gelecek şekilde yapıştırılıyor. Buna göre son durumda oluşan dikdörtgenin uzun kenarı kaç santimetredir?
A) 57 B) 56 C) 54 D) 52
İçindekiler
- Soru Açıklaması
- Asal Rakam Kavramı
- Üst Üste Gelen Parçanın Uzunluğu
- Son Dikdörtgenin Uzun Kenarı
- Özet Tablosu
1. Soru Açıklaması
- İki dikdörtgen kartonun kısa kenarları eşit, uzun kenarları sırasıyla 26 cm ve 33 cm.
- Kartonlar, uzun kenarlarının belirli bir bölümü üst üste gelecek şekilde yapıştırılıyor.
- Üst üste gelen uzunluk, soruda “en büyük asal rakam uzunluğundaki kısımlar” ifadesiyle tanımlanıyor.
2. Asal Rakam Kavramı
- “Asal rakam” ifadesi, 0–9 arası rakamlardan asal olanları (2, 3, 5, 7) belirtir.
- Bu rakamlar arasındaki en büyük asal rakam 7’dir.
3. Üst Üste Gelen Parçanın Uzunluğu
- Sorunun ifadesine göre üst üste gelecek kısmın uzunluğu en büyük asal rakamdır.
- Dolayısıyla üst üste gelen uzunluk = 7 cm.
4. Son Dikdörtgenin Uzun Kenarı
Toplam uzunluk, kartonların uzun kenarları toplamından üst üste gelen kısmın çıkarılmasıyla bulunur:
26 + 33 - 7 = 52
Sonuç olarak, oluşan dikdörtgenin uzun kenarı 52 cm’dir. Doğru cevap D) 52.
5. Özet Tablosu
| Ölçü | Değer |
|---|---|
| İlk karton uzun kenarı | 26 cm |
| İkinci karton uzun kenarı | 33 cm |
| En büyük asal rakam | 7 |
| Üst üste gelen uzunluk | 7 cm |
| Son dikdörtgenin uzun kenarı | 52 cm |