Gıgugjhh

Selin_Celik · Mart 27, 2026, 1:21ös

Egitim_Danismani · Mart 27, 2026, 1:21ös

SORU:
a tam sayı olmak üzere,
f(x) = \begin{cases} 2x - a, & x > a \\ 2x + a, & x \leq a \end{cases}
şeklinde tanımlı bir fonksiyonda,
f(x) = 4 eşitliğini sağlayan iki farklı x değerinin çarpımı a + 1 olduğuna göre, a kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir fonksiyonun iki farklı x için aynı değeri alması durumu denklemlerle çözülür. İki farklı kökün çarpımı verildiğinde, kökleri bulup çarpımını sağlar.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyon tanımına göre f(x) = 4 denklemlerini yaz
x > a için:

2x - a = 4 \implies 2x = 4 + a \implies x = \frac{4 + a}{2}

x \leq a için:

2x + a = 4 \implies 2x = 4 - a \implies x = \frac{4 - a}{2}

Adım 2 — İki x değerinin farklı olması için koşul
Bu iki x değerinin farklı olması gerekiyor ve:

\frac{4 + a}{2} > a (çünkü bu kök x > a bölgesinde olmalı)
\frac{4 - a}{2} \leq a (diğer kök ise x \leq a bölgesinde)

Kontrol edelim:

\frac{4 + a}{2} > a \Rightarrow 4 + a > 2a \Rightarrow 4 > a

\frac{4 - a}{2} \leq a \Rightarrow 4 - a \leq 2a \Rightarrow 4 \leq 3a \Rightarrow \frac{4}{3} \leq a

Demek ki a tam sayı ve \frac{4}{3} \leq a < 4 olmalı, yani a = 2 veya a = 3 olabilir (tam sayılar arasında).

Adım 3 — x köklerinin çarpımını yaz, verilen ifade ile eşitle
Köklerin çarpımı:

\left(\frac{4 + a}{2}\right) \times \left(\frac{4 - a}{2}\right) = a + 1

Solda çarpım:

\frac{(4 + a)(4 - a)}{4} = a + 1

Çarpımı açalım:

\frac{16 - a^2}{4} = a + 1

Her iki tarafı 4 ile çarpalım:

16 - a^2 = 4a + 4

Denklemi düzenleyelim:

16 - a^2 - 4a - 4 = 0

- a^2 - 4a + 12 = 0

Tarafları -1 ile çarpalım:

a^2 + 4a - 12 = 0

Adım 4 — Denklemi çöz
Denklem:

a^2 + 4a - 12 = 0

Diskriminant:

\Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times (-12) = 16 + 48 = 64

Kökler:

a = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2}

İki kök:

a_1 = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2, \quad a_2 = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6

Adım 5 — Koşullara uygun kökü seç
Daha önce bulduğumuz koşula göre a \frac{4}{3} \leq a < 4 aralığında olmalı, yani a = 2 uygun.

a = -6 bu aralıkta değil ve tanım koşullarını sağlamaz.

CEVAP: \boxed{2}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

Sinav_Rehberi · Mart 27, 2026, 1:22ös

SORU: a bir tam sayı olmak üzere, gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı f fonksiyonu

f(x)=\begin{cases} 2x-a,& x>a\\[4pt] 2x+a,& x\le a \end{cases}

şeklinde tanımlanıyor. f(x)=4 eşitliğini sağlayan iki farklı x değerinin çarpımı a+1 olduğuna göre, a kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Parçalı fonksiyonlarda her parçanın kendi tanım aralığıyla birlikte çözülmesi; elde edilen köşelerin parçanın koşulunu sağlaması gerekir.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Sağ parçayı çöz (x > a için)
Denklemi yaz: 2x-a=4
Çözüm: 2x=4+a ⇒ x=\dfrac{4+a}{2}
Koşul kontrolü: \dfrac{4+a}{2}>a ⇒ 4+a>2a ⇒ 4>a yani a<4.

Adım 2 — Sol parçayı çöz (x ≤ a için)
Denklemi yaz: 2x+a=4
Çözüm: 2x=4-a ⇒ x=\dfrac{4-a}{2}
Koşul kontrolü: \dfrac{4-a}{2}\le a ⇒ 4-a\le 2a ⇒ 4\le 3a ⇒ a\ge \dfrac{4}{3}. Çünkü a tam sayı, bu demek ki a ≥ 2.

Adım 3 — Her iki çözümün de geçerli olması için a aralığı
Her iki çözümün de geçerli olması için şartlar birleştirilir: 2 \le a < 4. Tam sayılar için olası değerler a = 2 veya a = 3.

Adım 4 — Her aday için x değerlerini ve çarpımı hesapla (tüm işlemleri göster)

a = 2 için:
x_1=\dfrac{4+2}{2}=\dfrac{6}{2}=3
x_2=\dfrac{4-2}{2}=\dfrac{2}{2}=1
Çarpım: 3\times 1=3
Sağlanan ifade: a+1=2+1=3 → eşitlik sağlanıyor.
a = 3 için:
x_1=\dfrac{4+3}{2}=\dfrac{7}{2}=3{,}5
x_2=\dfrac{4-3}{2}=\dfrac{1}{2}=0{,}5
Çarpım: 3{,}5\times 0{,}5=\dfrac{7}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{4}=1{,}75
Sağlanan ifade: a+1=3+1=4 → eşitlik sağlanmıyor.

Adım 5 — Doğru değeri seç
Sadece a = 2 verilen koşulu sağlıyor.

TEMEL KAVRAMLAR:

Parçalı fonksiyon

Tanım: Bir fonksiyonun farklı x aralıklarında farklı ifadelerle tanımlanması.
Bu problemde: Her parça için elde edilen köşelerin ilgili aralık koşulunu sağlaması zorunludur.

Kısıtlama kontrolü

Tanım: Çözülen değerin parça koşuluyla uyumlu olup olmadığını kontrol etmek.
Bu problemde: x=\dfrac{4+a}{2} için x>a, diğer çözüm için x\le a kontrol edildi.

SIK YAPILAN HATALAR:

Koşul atlama

Yanlış: Elde edilen x değerlerinin ilgili parça koşulunu kontrol etmemek.
Doğru: Her kökü yazıp parçanın koşulunu doğrulamak.
Neden yanlış: Geçersiz bir kökü kabul etmek yanlış çözüme götürür.
Düzeltme: Her çözüm sonrası eşitsizlik kontrolü yapılmalı.

Tam sayı şartını göz ardı etme

Yanlış: a için reel değerler düşünmek.
Doğru: a bir tam sayı olduğuna göre sadece tam sayılar denenmeli.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!

CEVAP: 2