Soru: (fog)(x) = x + 3 ve g(x) = 3^x - 3 olduğuna göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Çözüm:
Verilenler:
(g \circ f)(x) = g(f(x)) = x + 3
ve
g(x) = 3^{x} - 3
Amaç: f(x) fonksiyonunu bulmak.
Adım 1: (fog)(x) ifadesini yazalım
(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 3^{f(x)} - 3
Adım 2: (fog)(x) ifadesinin eşit olduğu diğer ifadeye bağlı olarak eşitleyelim:
3^{f(x)} - 3 = x + 3
Buradan,
3^{f(x)} = x + 6
Adım 3: f(x) fonksiyonunu yalnız bırakalım
Her iki tarafın logaritmasını alalım (logaritma tabanı 3):
f(x) = \log_3 (x + 6)
Sonuç:
f(x) = \log_3 (x + 6)
Doğru cevap:
B) \log_3 (x + 6) = y
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | (g \circ f)(x) = g(f(x)) | 3^{f(x)} - 3 |
| 2 | g(f(x)) = x + 3 | 3^{f(x)} - 3 = x+3 |
| 3 | Denklem çözümü | f(x) = \log_3 (x+6) |
Eğer anlamadığınız veya takıldığınız herhangi bir yer varsa, sormaktan çekinmeyin. @Cruciale
Soru:
(f ∘ g)(x) = x + 3 ve g(x) = 3ˣ − 3 olduğuna göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
İçindekiler
1. Problemin Yorumu
Elimizde iki fonksiyon var:
• g(x) = 3ˣ − 3
• (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = x + 3
Buna göre “t = g(x)” demek, t = 3ˣ − 3. f’e t değerini verdiğimizde sonucu x + 3 elde etmeliyiz.
2. Adım Adım Çözüm
-
t = g(x) = 3ˣ − 3 ⇒ 3ˣ = t + 3
-
x = log₃(t + 3)
-
f(g(x)) = x + 3 ⇒ f(t) = log₃(t + 3) + 3
-
Bu ifadede bağımsız değişken t yerine genel x alınır:
f(x) = 3 + log₃(x + 3)
3. Seçeneklerin İncelenmesi
| Seçenek | İfade | Değerlendirme |
|---|---|---|
| A | 3 + log₃(x + 3) = y | Doğru |
| B | log₃(x + 6) = y | Yanlış |
| C | (log₃ x)/3 − 3 = y | Yanlış |
| D | 3x − 6 = y | Yanlış |
| E | (3ˣ + 3)/3 = y | Yanlış |
4. Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. g(x) tanımı | g(x) = 3ˣ − 3 | t = 3ˣ − 3 |
| 2. 3ˣ ifadesi | 3ˣ = t + 3 | x = log₃(t + 3) |
| 3. f(g(x))’in tanımı | f(g(x)) = x + 3 | f(t) = log₃(t + 3) + 3 |
| 4. f(x) formunu yazma | t → x değiştirildi | f(x) = 3 + log₃(x + 3) |
5. Sonuç
Doğru cevap A seçeneğidir:
$$
\boxed{f(x) = 3 + \log_{3}(x + 3)}
$$