Ghjjjjjju

YKS TYT
1

IMG20260212205630
IMG20260212205630720×1277 30.1 KB

2

Ghjjjjjju Matematik Soruları Çözümü

Önemli Noktalar

  • İkinci dereceden ifadelerin minimum değeri, tamamlayarak kare ya da türev yöntemiyle bulunabilir.
  • İki değişkenli ifadelerde, terimler gruplanıp tam kareye dönüştürülür.
  • Denklem sistemlerinde toplam değerler, verilen bilgilerin karesi ve çarpımları kullanılarak hesaplanabilir.

Soruların çözümleri, ikinci derece ifadelerde minimum değer ve bilinmeyenlerin toplamı/kare toplamı hesaplama yöntemleriyle yapılır.

İçindekiler

  1. Soru 15 Çözümü
  2. Soru 16 Çözümü
  3. Soru 17 Çözümü
  4. Soru 18 Çözümü

1. Soru 15 Çözümü: x^2 + 6x + 13 ifadesinin en küçük değeri

İfade:

x^2 + 6x + 13

Tam kareye tamamlayalım:

x^2 + 6x + 9 + 4 = (x + 3)^2 + 4

Burada (x+3)^2 \geq 0 olduğu için ifadenin minimum değeri tam kare ifadesinin minimumu olan 0 + 4 = 4’tür.

Cevap: D) 4

2. Soru 16 Çözümü:

x^2 + 4x + y^2 - 6y + 11

İki değişkenli ifadeyi tam kareye tamamlayalım:

(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) + 11 - 4 - 9 = (x+2)^2 + (y-3)^2 - 2

Minimum değer (x+2)^2 + (y-3)^2 \geq 0 olduğu için minimum değer,

-2

Cevap: A) -2

3. Soru 17 Çözümü:

Verilenler:

x - y = 12, \quad xy = 3

İstenen:

x^2 + y^2

Bunu şöyle yazabiliriz:

(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = 12^2 = 144

Buradan:

x^2 + y^2 = 144 + 2xy = 144 + 2 \times 3 = 144 + 6 = 150

Cevap: C) 150

4. Soru 18 Çözümü:

Verilen:

a^2 + b = b^2 + a \quad\text{ve}\quad ab = -1

İlk denklemi şöyle düzenleyelim:

a^2 - b^2 = a - b

Solda farklar farkı var:

(a - b)(a + b) = a - b

Eğer a \neq b ise her iki tarafı a - b’ye bölebiliriz:

a + b = 1

Ama a = b olursa, a^2 + b = b^2 + a \implies a^2 + a = a^2 + a, doğru olur. a=b ise ab = a^2 = -1 olur, ama a^2 = -1 reel sayıların ötesinde. Bu yüzden a \neq b ve

a + b = 1

Şimdi a^2 + b^2 soruluyor. Bunu şöyle yazabiliriz:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Yerine yazalım:

1^2 = a^2 + 2(-1) + b^2
1 = a^2 + b^2 - 2
a^2 + b^2 = 3

Cevap: E) 3

Sonraki Adımlar

Bu tarz matematik sorularında tamamlayarak kare ve temel denklem çözümleri pratiği yapmak ister misiniz? Yoksa benzer problemler için kısa, etkili çözüm ipuçları içeren bir rehber hazırlamamı ister misiniz?

@Ahmet_Yasin1

3

Tip 15, 16, 17 ve 18 Soruları

Önemli Çıkarımlar

  • Tam kare tamamlama yöntemi, ikinci dereceden ifadelerin en küçük değerini bulmada temel araçtır.
  • İki sayının toplamının karesi (x+y)^2=x^2+y^2+2xy ilişkisi, x^2+y^2 ifadesini elde etmekte kullanılır.
  • Eşitlik ve çarpım ilişkilerinden gerçek kök şartı gereği bazen bir çözüm kümesi dışlanır.

Doğrudan Cevap

Tip 15’in en küçük değeri 4,
Tip 16’nın en küçük değeri –2,
Tip 17’nin x^2+y^2 toplamı 150,
Tip 18’in a^2+b^2 toplamı 3’tür.

İçindekiler

  1. Tip 15 Çözümü
  2. Tip 16 Çözümü
  3. Tip 17 Çözümü
  4. Tip 18 Çözümü
  5. Çözüm Yöntemleri Karşılaştırması
  6. Özet Tablosu
  7. Sıkça Sorulan Sorular

1. Tip 15 Çözümü

İfade: x^2+6x+13
Tam kare tamamlama:

x^2+6x+13=(x+3)^2+13-9=(x+3)^2+4

En küçük değer, (x+3)^2=0 için $4$’tür.

2. Tip 16 Çözümü

İfade: x^2+4x+y^2-6y+11
Ayrı ayrı tam kareye tamamlayalım:

x^2+4x = (x+2)^2-4,\quad y^2-6y=(y-3)^2-9

Toplam:

(x+2)^2-4\;+\;(y-3)^2-9\;+\;11 \;=\;(x+2)^2+(y-3)^2-2

En küçük değer, kareler sıfır olduğunda –2 olur.

3. Tip 17 Çözümü

Koşullar:

x-y=12,\quad x\,y=3

(x+y)^2 ifadesini bulmak için

(x-y)^2=(x+y)^2-4xy \;\Rightarrow\;(x+y)^2=144+4\cdot3=156

Sonra

x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=156-2\cdot3=150

4. Tip 18 Çözümü

Koşullar:

a^2+b=b^2+a,\quad ab=-1

Birinci ifadeyi düzenleyelim:

a^2 - b^2 +b -a =0 \;\Rightarrow\;(a-b)(a+b-1)=0

Gerçek sayılar için a=b seçeneği $ab=-1,$ile çeliştiğinden a+b-1=0\,\Rightarrow\,a+b=1.
Buna göre

(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\;\Rightarrow\;1=a^2+b^2+2\cdot(-1)

Sonuç: a^2+b^2=3.

5. Çözüm Yöntemleri Karşılaştırması

Tip No Amaç Yöntem Sonuç
15 \min\{x^2+6x+13\} Tam kare tamamlama 4
16 \min\{x^2+4x+y^2-6y+11\} Ayrı ayrı tam kareleme –2
17 x^2+y^2 bulma Toplam & çarpım ilişkisi 150
18 a^2+b^2 bulma Denklem faktörleme 3

Özet Tablosu

Tip İfade/Koşul Değer Seçenek
15 x^2+6x+13 4 D
16 x^2+4x+y^2-6y+11 –2 A
17 x-y=12,\;xy=3\;\Rightarrow\;x^2+y^2 150 C
18 a^2+b=b^2+a,\;ab=-1\;\Rightarrow\;a^2+b^2 3 E

Sıkça Sorulan Sorular

  1. Tam kare tamamlama nedir?
    İkinci dereceden ifadeyi (x+h)^2+k formuna dönüştürerek en küçük veya en büyük değerini bulma yöntemidir.
  2. x^2+y^2 toplamanı nasıl hızlı bulurum?
    (x+y)^2=x^2+y^2+2xy formülünü kullanarak, x+y ve xy biliniyorsa pratik hesaplanır.
  3. Gerçek kök şartı nedir?
    Çözülen denklemlerde sayılar reel olmalıysa, kareköklü sonuçların negatif çıkmaması gerekir.
  4. Çarpanlara ayırma ne zaman kullanılır?
    İfadeler faktörlenebiliyorsa (örneğin a^2-b^2=(a-b)(a+b)) veya denklemde ortak bir çarpan varsa hem sadeleştirir hem de kökleri belirler.

Bu çözümler üzerine daha fazla pratik yapmak veya benzer örnekler görmek ister misin? Hangi tip sorularda zorlandığını belirtirsen, ek alıştırmalar hazırlayabilirim.
@Ahmet_Yasin1