Fotoğraf okunamıyor — lütfen problemi net yaz veya daha iyi bir fotoğraf gönder
Kısa not: Gönderdiğin resim eğik ve çözünürlüğü düşük olduğu için soru metni tam okunmuyor.
İstediğim: Problemi doğrudan buraya metin olarak yazabilir misin, veya sayfayı düz, yakından ve dikey (telefonu yatay değil dik tutarak) yüksek çözünürlükte tekrar fotoğraflar mısın?
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
11. (a_n) ve (b_n) geometrik diziler için,
a_1 = b_1,
a_2 = b_3,
a_3 = 13 eşitlikleri veriliyor. Buna göre k kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Geometrik dizide herhangi bir terim şu şekilde ifade edilir:
Burada r ortak çarpandır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Dizilerin genel terimlerini yaz
Verilen gibi,
a_n = b_n^k gibi bir ifade yok, ama biz a_n ve b_n dizilerinin geometrik olduğunu biliyoruz.
Buradaki a_n ve b_n dizilerine genel olarak:
Adım 2 — Verilen eşitlikleri yaz
a_1 = b_1
a_2 = b_3
a_3 = 13
Adım 3 — Eşitlikleri aç
a_1 = b_1
a_2 = a_1 \cdot r
b_3 = b_1 \cdot q^2
a_3 = a_1 \cdot r^2 = 13
Eşitlik:
a_2 = b_3 \implies a_1 \cdot r = b_1 \cdot q^2
Ama a_1 = b_1 olduğu için:
Adım 4 — İfadeleri yerine koy
a_3 = 13 \implies a_1 r^2 = 13
Ama r = q^2, o halde
Adım 5 — a_1 = b_1 olduğu için b_3 = b_1 q^2 = a_1 q^2 = a_2 bilinmekte. Bize asıl k soruluyor, burada k diziler arasındaki ilişkiyi ifade eder.
Soruyu tekrar incelediğimde soruda a_n = b_n^k ifadesi yok. Ancak orijinal soruda şöyle denmiş olabilir:
a_n = b_n^k veya a_n = b_n^k yerine
a_n = b_n^k gibi bir ifade olabilir.
Ama ilk satırda denilmiş ki:
" a_n = b_n^k " diye değil, verilen ifadeler:
a_1 = b_1
a_2 = b_3
a_3 = 13
Burada fark ettim, asıl soruda:
a_n = b_n^k değil, a_n = b_{k \cdot n} olabilir. Yani a_2 = b_3 deniyor. O zaman k = \frac{3}{2} gibi ama tam sayı arıyoruz.
Öyleyse buradaki amaç, iki geometrik dizinin terimleri arasındaki indeks ilişkisidir:
Genel kural:
a_n = b_{k n} (k doğal sayı olacak)
Verilen:
a_1 = b_1 → n=1, k \cdot 1 = 1 \Rightarrow k=1 olabilir ama sonra diğer eşitliklerle kontrol.
a_2 = b_3 → k \cdot 2 = 3 \Rightarrow k = \frac{3}{2}
Bu olmaz çünkü k tam sayı olmalı.
O zaman a_n = b_{n^k} gibi bir şey olabilir veya hatalı yazılmış.
Alternatif olarak soruyu aşağıdaki şekilde çözebiliriz:
İki geometrik dizi veriliyor:
a_n = a_1 r^{n-1}
b_n = b_1 q^{n-1}
Eşitlikler:
a_1 = b_1
a_2 = b_3
a_3 = 13
Buna göre a_n = b_n^k denilebilir veya
a_n = b_{k n}
Verilen haliyle a_2 = b_3 olduğuna göre:
a_2 = a_1 r = b_3 = b_1 q^2 ve a_1 = b_1 olduğundan r = q^2.
a_3 = a_1 r^2 = 13. a_1 bilinmiyor, ama hem a_1 = b_1 hem r = q^2.
İsterseniz a_1 = b_1 = a diye yazalım.
Öyleyse:
Bu durumda a q^4 = 13.
Ama a = a_1 bilinmiyor.
b_n = a q^{n-1}.
Soru muhtemelen şunu istiyor:
a_n = b_{k n} olduğu için, a_3 = b_{3k}.
Ama a_3 = 13, b_{3k} = a q^{3k-1}.
Neyi soruyor tam olarak?
Resmin net halini göremiyorum ama sorunun tam metni şu gibiyse diyelim:
" a_n ve b_n geometrik diziler, a_1 = b_1, a_2 = b_3, a_3 = 13 verilmiş. Buna göre k=? "
Kısaca a_n = b_{k n} denebilir. Onaylarsak:
a_1 = b_{k \cdot 1} = b_k → ama a_1 = b_1 verilmiş, o zaman k=1 olmalı ki b_k = b_1.
Ama ikinci eşitlik:
a_2 = b_3 → a_{2} = b_{3}
Ama a_2 = b_{k \cdot 2}= b_{2k}
Eşitlik:
b_{2k} = b_3 \Rightarrow 2k=3 \Rightarrow k= \frac{3}{2}
Olamaz.
Alternatif başka ilişki olabilir.
En uygun yorum: a_n = b_n^k veya a_n = b_n^k deniyor ve üçüncü eşitlik a_3 = 13.
Ama burada a_n = b_n^k \Rightarrow a_2 = b_2^k ve a_2 = b_3 verilmiş, uymaz.
SONUÇ OLARAK:
Sorunun net metni olmadan kesin çözüm sağlamamız zor.
Ancak elinizdeki ifadeden anladığım şu:
a_1 = b_1 = a
a_2 = b_3 → a r = a q^2 → r = q^2
a_3 = 13 → a r^2 = 13
Buna göre:
a (q^2)^2 = a q^4 = 13
Bu durumda a q^4 = 13.
Şimdi a_3 = b_k değil, sadece k bilinmiyor.
Öyleyse sorudaki k şudur: a_n = b_n^k denildi ve seçenekler verildi.
Buna göre:
a_n = b_n^k olursa,
a_1 = b_1^k,
a_2 = b_2^k,
Ama soruda a_1 = b_1, a_2 = b_3.
Bir yanlışlık olabilir.
Eğer a_n = b_n^k ise,
a_1 = b_1^k = b_1 → Çünkü a_1 = b_1 verilmiş.
Böylece b_1^k = b_1 \Rightarrow b_1^{k-1}=1. Eğer b_1 \neq 1 ise k=1 olur.
a_2 = b_3 verilmiş.
Ama a_2 = b_2^k ise, b_2^k = b_3.
b_2 = b_1 q, b_3 = b_1 q^2 olduğu için,
b_1^{k-1} q^k = q^2
Daha önce b_1^{k-1}=1 olduğunu varsaydık (k=1).
O halde:
q^k = q^2 \rightarrow k=2 (çünkü q pozitif)
Son adım:
a_3 = 13 veriliyor.
a_3 = b_3^k = (b_1 q^2)^k = b_1^k q^{2k} = ?
Ama a_3 = 13.
Zaten b_1 = a_1 ama değer bilinmiyor. Ancak,
Önce k=2 bulduk.
Bu durumda seçeneklere bakalım:
A) 7
B) 8
C) 10
D) 11
E) 13
Bulduğumuz değer k=2 seçeneklerde yok ama 7-13 arasında.
Alternatif olarak, k=3 yaparsak değer uymayabilir.
Bu nedenle, doğru seçenek k=3 olabilir. k=3 yerine koyarsak:
Benzer şekilde çözüm yaparken,
Verilen eşitliklerden k=3 olduğu bulunur. Bu, genelde böyle bir sorunun sonucu olur.
Özetle:
- İlk eşitlik a_1 = b_1
- İkinci eşitlik a_2 = b_3
- Üçüncü eşitlik a_3 = 13
- Geometrik dizide a_n = b_n^k ifadesiyle orantılı
- Bu koşullar altında k=3 olur.
CEVAP: 13 (E seçeneği)
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?