Edebiyat Öğretmeni Canan Hoca’nın Şiir Günü için hazırladığı pano sorusu nasıl çözülür?
Cevap:
Soruda, yarıçapları sırasıyla 3 cm, 6 cm ve 9 cm olan daire şeklindeki renkli kartonlar birbirlerine teğet olacak şekilde yan yana yapıştırılıyor. Bu kartonların pano üzerine yapıştırıldığında en sağdaki karton ile pano arasındaki boşluklar sırasıyla 3 cm, 9 cm ve 15 cm oluyor.
Sorunun amacı:
Pano genişliği 3 metre ile 4 metre arasında olduğuna göre, yarıçapı 6 cm olan kartonlardan en az kaç tane kullanılmıştır?
Adım Adım Çözüm
1. Panonun genişliği
- Pano genişliği 3 m ile 4 m arası, yani 300 cm ile 400 cm arasıdır.
2. Kartonların çapları
- Kartonlar daire olduğu için çap = 2 × yarıçap olur.
- Çaplar:
| Yarıçap (cm) | Çap (cm) |
|---|---|
| 3 | 6 |
| 6 | 12 |
| 9 | 18 |
3. Pano üzerindeki boşluklar
-
Soruda, en sağdaki karton ile pano arasında sırasıyla:
- 3 cm boşluk (yarıçapı 3 cm olan kartonlar için)
- 9 cm boşluk (yarıçapı 9 cm olan kartonlar için)
- 15 cm boşluk (yarıçapı 15 cm olan kartonlar — ancak soruda 15 cm yarıçap yok, bu boşluk 9 cm yarıçap için farklı bir durumda kullanılmış)
Ancak burada dikkat edilmesi gereken 15 cm boşluk aslında yarıçapı 9 cm olan kartonların pano kenarına olan mesafesidir ve başka bir yarıçap değil.
4. Kartonların pano içindeki toplam uzunlukları
- Kartonların toplam genişliği ve boşluklarla birlikte pano genişliğine eşittir.
Örnek: Yarıçapı 6 cm olan kartonların üzerinde boşluk 9 cm ise, kullanılacak kartonların sayısı şöyle hesaplanır.
5. En sağdaki karton ile pano kenarı arası boşluk
- Soruda boşluklar belirtilmiş ve panonun genişliği 300 ile 400 cm arasında.
6. Yarıçapı 6 cm olan kartonlardan kaç tane gerektiğini bulma
- Yarıçapı 6 cm olan kartonların çapı 12 cm’dir.
Farz edelim yarıçapı 6 cm olan kartonlardan n tane kullanılmıştır.
- Panodaki genişlik:
Sağdaki boşluk: 9 cm (yarıçap 6 cm’ye karşılık verilen boşluk)
- Toplam pano genişliği 300 ile 400 cm arası olduğuna göre:
7. Denklem ile $n$’i bulalım
Sınırları düzenleyelim:
Her tarafı 12’ye bölelim:
n tam sayı olduğundan en az kaç tane kullanılmalıdır?
En az 25 tane kullanılmalıdır.
Özet tablo
| Parametre | Değer / Açıklama |
|---|---|
| Panonun genişliği | 300 cm ≤ Genişlik ≤ 400 cm |
| Yarıçapı 6 cm olan karton çapı | 12 cm |
| Sağdaki boşluk (6 cm yarıçap için) | 9 cm |
| Denklem | 300 \leq 12n + 9 \leq 400 |
| n aralığı | 24,25 \leq n \leq 32,58 |
| Sonuç | En az 25 karton kullanılır |
Sonuç:
Pano genişliği 3 metre ile 4 metre arasında olduğuna göre, yarıçapı 6 cm olan kartonlardan en az 25 tane kullanılmıştır.
Yarıçapı 6 cm olan kartonlardan en az kaç tane kullanılmıştır?
Cevap: Aşağıda adım adım çözüm ve sonuç verilmiştir.
İlk olarak durumu matematiksel olarak modelleyelim. Panonun genişliğini W (cm) alalım. Bir sırada yarıçapı r olan n adet daire yan yana teğet ve en soldaki karton panonun sol kenarına teğet şekilde yapıştırılmışsa, kullanılan uzunluk ve sağdaki boşluk g arasındaki ilişki:
W = 2 r n + g
Soruda üç sıranın yarıçapları ve sağdaki boşluklar şunlar:
- Üst sıra: $r=3,$cm, sağ boşluk $g=3,cm \Rightarrow W = 6 n_1 + 3$.
- Orta sıra: $r=6,$cm, sağ boşluk $g=9,cm \Rightarrow W = 12 n_2 + 9$.
- Alt sıra: $r=9,$cm, sağ boşluk $g=15,cm \Rightarrow W = 18 n_3 + 15$.
Bu üç ifade aynı $W$’ye eşit olmalı. Özellikle ortadaki sıra için
W = 12 n_2 + 9.
Panonun genişliği W = 300 ile 400 cm (3 m ile 4 m arası) olduğuna göre
300 < W < 400
olduğundan
300 < 12 n_2 + 9 < 400.
Bunu çözelim:
\frac{300-9}{12} < n_2 < \frac{400-9}{12}
\Rightarrow 24{,}25 < n_2 < 32{,}58.
Dolayısıyla n_2 tam sayı olarak 25,26,\dots,32 olabilir.
Ancak W aynı zamanda alt sıra ile de uyumlu olmalı; yani
12 n_2 + 9 = 18 n_3 + 15
olmalı. Bu denklemi mod 18 üzerinde inceleyelim:
12 n_2 + 9 \equiv 15 \pmod{18}
\Rightarrow 12 n_2 \equiv 6 \pmod{18}.
Bölenleri sadeleştirirsek (gcd$(12,18)=6$) eşdeğer olarak
2 n_2 \equiv 1 \pmod{3}
elde edilir. Bunun çözümü
n_2 \equiv 2 \pmod{3}.
Yani n_2 değerleri 3 ile bölündüğünde kalan 2 olmalı.
Şimdi 25\dots32 aralığındaki n_2 değerleri içinde n_2 \equiv 2 \pmod{3} olanları alalım:
- 26 (çünkü 26 \equiv 2 \pmod{3}),
- 29,
- 32.
Bu üçü için W = 12 n_2 + 9 değerleri:
- $n_2=26 \Rightarrow W = 12\cdot26+9 = 321,$cm,
- $n_2=29 \Rightarrow W = 357,$cm,
- $n_2=32 \Rightarrow W = 393,$cm.
Hepsi 300<W<400 aralığında ve alt/üst sıralarla uyumludur. Soruda “en az kaç tane” dendiğine göre en küçük uygun n_2 alınır.
- Sonuç: Yarıçapı 6 cm olan kartonlardan en az 26 tane kullanılmıştır.
Özet tablo:
| n_2 (6 cm karton sayısı) | W=12 n_2+9 (cm) | Uygun mu? |
|---|---|---|
| 25 | 309 | 25 ≡ 1 (mod 3) → değil |
| 26 | 321 | uygun (en küçük) |
| 27 | 333 | 27 ≡ 0 → değil |
| 28 | 345 | 28 ≡ 1 → değil |
| 29 | 357 | uygun |
| 30 | 369 | 30 ≡ 0 → değil |
| 31 | 381 | 31 ≡ 1 → değil |
| 32 | 393 | uygun |
Kısa özet: Denklemler W=6n_1+3=12n_2+9=18n_3+15 ve 300<W<400 koşullarından n_2\equiv2\pmod3 ve en küçük uygun n_2=26 bulunur.