Bir ortamda bulunan zararlı bakterilerin azaltılması amacıyla yapılan bir deneyde ortama verilen ilacın bakteri sayısı üzerindeki etkisi araştırılmaktadır. Ormanda başlangıçta x adet bakteri varken, uygulanan her bir doz ilacın sonunda ortamda bulunan bakteri sayısının karekökü kadar bakteri yaşayabiliyor. Buna göre, bakteri ortamına 3 doz ilaç uygulandığında kaç adet bakterinin yaşayabildiğini gösteren bir kural oluşturunuz.
Soru Analizi ve Çözüm Adımları
Bu problemde başlangıçta x adet bakteri vardır. Her doz ilaç uygulandığında ortamda kalan bakteri sayısı, önceki bakterilerin karekökü kadardır. Yani:
- Başlangıçta: x adet bakteri
-
- dozdan sonra: \sqrt{x} adet bakteri kalır
-
- dozdan sonra: \sqrt{\sqrt{x}} = x^{\frac{1}{4}} adet bakteri kalır
-
- dozdan sonra: \sqrt{x^{\frac{1}{4}}} = x^{\frac{1}{8}} adet bakteri kalır
Genel Kural
Her dozdan sonra bakteri sayısı, bir öncekinin karekökü olduğuna göre, n dozdan sonra kalan bakteri sayısı:
x^{\left(\frac{1}{2}\right)^n}
Burada n doz sayısını gösterir.
3 Doz Sonrası Bakteri Sayısı
3 doz uygulandığında kalan bakteri sayısı:
x^{\left(\frac{1}{2}\right)^3} = x^{\frac{1}{8}}
Tabloya Uygulama
| Doz Sayısı | Yaşayan Bakteri Sayısı |
|---|---|
| Başlangıç (0 doz) | x |
| 1. doz sonrası | x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} |
| 2. doz sonrası | x^{\frac{1}{4}} = \sqrt{\sqrt{x}} |
| 3. doz sonrası | x^{\frac{1}{8}} = \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}} |
Özet
- Başlangıçta x adet bakteri vardır.
- Her dozdan sonra bakteri sayısı bir öncekinin karekökü olur.
- 3 doz ilaç uygulandıktan sonra ortamda kalan bakteri sayısı x^{\frac{1}{8}} olur.
Ek Notlar
- Eğer başlangıçtaki bakteri sayısı belli ise, örneğin x=256 ise, 3 doz sonrası kalan bakteri sayısı:
256^{\frac{1}{8}} = (2^8)^{\frac{1}{8}} = 2^{8 \times \frac{1}{8}} = 2^1 = 2
- Bu kural, doz sayısı arttıkça bakterilerin sayısının hızla azaldığını gösterir.
Sonuç
Bakteri ortamına 3 doz ilaç uygulandığında ortamda kalan bakteri sayısını gösteren kural:
\boxed{ \text{Yaşayan bakteri sayısı} = x^{\frac{1}{8}} }
Soru:
Bir ortamda başlangıçta (x) adet bakteri varken, uygulanan her bir doz ilacın ardından ortamda kalan bakterilerin sayısının karekökü kadar olduğu bilindiğine göre, 3 doz uygulandığında kaç adet bakterinin yaşayacağını gösteren bir kural oluşturunuz.
İçindekiler
- Problemin Özeti
- Matematiksel Model ve Fonksiyon Tanımı
- Kompozisyon ile Doz Etkilerinin Hesaplanması
- 3 Doz Sonrası Genel İfade
- Tablo ile Adım Adım Değerler
- Genelleştirme: (n) Doz Uygulaması
- Örnek Uygulama
- Kısaca Özet Tablosu
- Anahtar Kavramlar
- Kaynakça
1. Problemin Özeti
- Başlangıçta ortamda (x) adet bakteri var.
- Uygulanan her bir doz ilaç sonrası, ortamda hayatta kalan bakteri sayısı, bir önceki durumdaki bakteri sayısının kareköküne eşittir.
- Toplam 3 doz uygulandığında kaç adet bakteri yaşar?
2. Matematiksel Model ve Fonksiyon Tanımı
Bu tür art arda uygulamalarda kolaylıkla kullanabileceğimiz yöntem, fonksiyonel model kurmaktır.
- (f) fonksiyonunu “bir doz ilaç sonrası hayatta kalan bakteri sayısı” olarak tanımlayalım.
- Başlangıca (x) dersek:
[
f(x) ;=; \sqrt{x}
] - Yani, her doz uygulamasında mevcut bakteri sayısı yerine onun karekökünü alıyoruz.
3. Kompozisyon ile Doz Etkilerinin Hesaplanması
- 1. doz sonrası:
(f(x) = \sqrt{x} = x^{\tfrac12}) - 2. doz sonrası:
(f\bigl(f(x)\bigr) = f\bigl(x^{\tfrac12}\bigr) = \sqrt{x^{\tfrac12}} = \bigl(x^{\tfrac12}\bigr)^{\tfrac12} = x^{\tfrac12 \cdot \tfrac12} = x^{\tfrac14}) - 3. doz sonrası:
[
f\bigl(f(f(x))\bigr)
= f\bigl(x^{\tfrac14}\bigr)
= \sqrt{x^{\tfrac14}}
= \bigl(x^{\tfrac14}\bigr)^{\tfrac12}
= x^{\tfrac14 \cdot \tfrac12}
= x^{\tfrac18}
]
4. 3 Doz Sonrası Genel İfade
Sonuç olarak 3 doz ilacın ardından kalan bakteri sayısını veren kural:
[
\boxed{
y ;=; x^{\tfrac18}
}
]
veya radikal gösterimle
[
y ;=; \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}
;=;
\sqrt[8]{,x,}
]
5. Tablo ile Adım Adım Değerler
| Doz Sayısı | Hayatta Kalan Bakteri Sayısı | Üstel İfade |
|---|---|---|
| Başlangıç | (x) | – |
| 1. doz sonrası | (\sqrt{x}) | (x^{\tfrac12}) |
| 2. doz sonrası | (\sqrt{\sqrt{x}}) | (x^{\tfrac14}) |
| 3. doz sonrası | (\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}) | (x^{\tfrac18}) |
6. Genelleştirme: (n) Doz Uygulaması
Eğer (n) doz ilaç uygulansaydı, hayatta kalan bakteri sayısı:
[
y ;=; x^{\tfrac{1}{2^n}}
]
şeklinde formüle edilir.
7. Örnek Uygulama
Diyelim ki başlangıçta (x = 256) bakteri var.
-
- doz sonrası: (256^{1/2} = 16)
-
- doz sonrası: (16^{1/2} = 4)
-
- doz sonrası: (4^{1/2} = 2)
Formülümüzü doğrudan kullanırsak:
[
256^{1/8} = \sqrt[8]{256} = 2
]
olduğunu görürüz. Sonuç, tablo ile uyumludur.
8. Kısaca Özet Tablosu
| Doz Sayısı (n) | Kalan Bakteri Sayısı | Genel İfade |
|---|---|---|
| 0 | (x) | (x^{1}) |
| 1 | (x^{1/2}) | (x^{1/2}) |
| 2 | (x^{1/4}) | (x^{1/4}) |
| 3 | (x^{1/8}) | (x^{1/8}) |
| (n) | (x^{1/2^n}) | (x^{1/2^n}) |
9. Anahtar Kavramlar
- Karekök fonksiyonu (\sqrt{;})
- Üstel ifade (x^{a})
- Fonksiyon kompozisyonu (f(f(\dots f(x)\dots)))
- Genelleştirme (n) doz sonrası (x^{1/2^n})
10. Kaynakça
- Lise Matematik Ders Kitapları, “Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar”
- Öztürk, A. (2020). Fonksiyonlar ve Uygulamaları, İstanbul: Eğitim Yayınları.
Sonuçta, 3 doz uygulandığında hayatta kalan bakteri sayısını gösteren kural:
[
\boxed{y = x^{\tfrac18}}
]