Ggdmdndndn

YKS TYT YKS Geometri
1

image
image720×960 25.5 KB

2

Yalnızca onlar ve yüzler basamağı eşit olan üç basamaklı sayıların incelenmesi

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]
Üç basamaklı bir sayının abc şeklinde gösterimi, 5 ile bölünebilme kuralı (birler basamağına bakılır) ve 9 ile bölünebilme kuralı (rakamlar toplamına bakılır).

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Sayının Tanımlanması
Soruda belirtilen sayı üç basamaklıdır ve yalnızca onlar ve yüzler basamağı birbirine eşittir. Bu durumda sayımızı aab şeklinde tanımlayabiliriz. Burada a \neq b ve a \in \{1, 2, ..., 9\}, b \in \{0, 1, ..., 9\} olmalıdır.

Adım 2 — Kalanların Eşitliği Şartı
Sayının 5 ile bölümünden kalan, 9 ile bölümünden kalana eşittir. Bu kalana k diyelim.

  • 5 ile bölümünden kalan (k): Birler basamağı olan b sayısının 5 ile bölümünden kalandır. Dolayısıyla k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}.
  • 9 ile bölümünden kalan (k): Rakamlar toplamı olan 2a + b ifadesinin 9 ile bölümünden kalandır.

Adım 3 — Olası Kalanlar (k) Üzerinden İnceleme
b rakamına göre k değerlerini ve buna bağlı a değerlerini bulalım:

  • Durum 1: b=0 veya b=5 ise k=0 olur.

    • b=0 \implies 2a + 0 \equiv 0 \pmod 9 \implies 2a = 18 \implies a=9. (Sayı: 990) :white_check_mark:
    • b=5 \implies 2a + 5 \equiv 0 \pmod 9 \implies 2a = 4 \text{ veya } 2a = 22 \implies a=2 veya a=11 (olmaz). (Sayı: 225) :white_check_mark:

  • Durum 2: b=1 veya b=6 ise k=1 olur.

    • b=1 \implies 2a + 1 \equiv 1 \pmod 9 \implies 2a \equiv 0 \pmod 9 \implies a=9. (Sayı: 991) :white_check_mark:
    • b=6 \implies 2a + 6 \equiv 1 \pmod 9 \implies 2a + 5 \equiv 9 \implies 2a = 4 \implies a=2. (Sayı: 226) :white_check_mark:

  • Durum 3: b=2 veya b=7 ise k=2 olur.

    • b=2 \implies 2a + 2 \equiv 2 \pmod 9 \implies 2a \equiv 0 \pmod 9 \implies a=9. (Sayı: 992) :white_check_mark:
    • b=7 \implies 2a + 7 \equiv 2 \pmod 9 \implies 2a + 5 \equiv 9 \implies 2a = 4 \implies a=2. (Sayı: 227) :white_check_mark:

  • Durum 4: b=3 veya b=8 ise k=3 olur.

    • b=3 \implies 2a + 3 \equiv 3 \pmod 9 \implies 2a \equiv 0 \pmod 9 \implies a=9. (Sayı: 993) :white_check_mark:
    • b=8 \implies 2a + 8 \equiv 3 \pmod 9 \implies 2a + 5 \equiv 9 \implies 2a = 2. (Sayı: 228) :white_check_mark:

  • Durum 5: b=4 veya b=9 ise k=4 olur.

    • b=4 \implies 2a + 4 \equiv 4 \pmod 9 \implies 2a \equiv 0 \pmod 9 \implies a=9. (Sayı: 994) :white_check_mark:
    • b=9 \implies 2a + 9 \equiv 4 \pmod 9 \implies 2a \equiv 4 \pmod 9 \implies a=2. (Sayı: 229) :white_check_mark:

Adım 4 — Sonuçların Değerlendirilmesi
Bulduğumuz sayılar: 990, 225, 991, 226, 992, 227, 993, 228, 994, 229. Toplamda 10 farklı değer mevcuttur. Tüm bu sayılarda a \neq b şartı (yalnızca onlar ve yüzler eşit) sağlanmaktadır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 10 (E seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Bölünebilme Kuralları

  • [Tanım:] Bir sayının kalansız bölünüp bölünmediğini veya kalanını rakamlar üzerinde işlem yaparak bulma yöntemleridir.
  • [Bu problemde:] 5 ile bölümden kalan için birler basamağına, 9 ile bölümden kalan için rakamlar toplamına bakıldı.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Basamak Eşitliğini Yanlış Anlamak

  • [Yanlış:] Sayının tüm basamaklarını eşit almak (999 gibi).
  • [Doğru:] Soruda “yalnızca onlar ve yüzler” dediği için birler basamağı bu rakamdan farklı olmalıdır.
  • [Neden yanlış:] Şart sağlanmazsa çözüm kümesi hatalı çıkar.

Bu çözümdeki adımlardan birini daha detaylı açıklamamı ister misin?