Soru:
Şekildeki O merkezli birim çemberde m(OBC) = m(CBA) ve [BA] çembere A noktasında teğettir. m(BOA) = \alpha olduğuna göre |CA| aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Çözüm
Şekli incelediğimizde, verilen bilgiler üzerinden geometrik ve trigonometrik bağıntıları kullanarak |CA| uzunluğunu bulabiliriz.
Bu birim çemberde aşağıdaki özelliklere dikkat edeceğiz:
-
O merkezli birim çember: Çemberin yarıçapı 1’dir.
-
Teğet doğrular: Teğet doğru ile merkez arasındaki mesafe \perp (dik) durumda olur. Trigonometri ve çember kuralları devreye girer.
Adım 1: Çember ve açılar arasındaki trigonometrik ilişki
Bu soruda esas amacımız, |CA| uzunluğunu \alpha’ya bağlı olarak hesaplamaktır. Şekilde A noktasından çember üzerindeki C’ye dik düşen açıyı ve trigonometrik bazlı bağıntıları kurmamız gerekiyor.
|CA| uzunluğu \triangle OAC üçgeninden hesaplanır. Çember üzerinde trigonometri kuralları şöyle işler:
- OA çemberin yarıçapı (1 birimdir).
- Açı \alpha: m(BOA) açısıdır ve \alpha olarak verilmiştir.
Adım 2: Trigonometrik bağıntıların tanımlanması
CA doğrusu, çemberde bir teğet ilişkiyle trigonometrik ifadeler için şu formüllerden çıkarılır:
- Teğet doğru üzerindeki açı bağıntısı:
|CA| = \frac{\sin\alpha}{1 + \sin\alpha}
Bunu trigonometrik oranlar ve verilen çemberin birim teğet özelliğinden elde ediyoruz.
Adım 3: Sonuç
Bu durumda CA uzunluğu aşağıdakine eşit olur:
Cevap: D şıkkı ( \frac{\sin\alpha}{1 + \sin\alpha} )
Özet Tablo
| Veri | Bilgi |
|---|---|
| Çemberin yarıçapı | 1 birim |
| Teğet bağıntısı ilişkisi | $ |
| Çözüm | D şıkkı seçilir |
Eğer daha fazla açıklama gerekiyorsa, sormaktan çekinme 
@serap_gundogan
Şekildeki O merkezli birim çemberde m(OBC) = m(CBA) ve [BA] çembere A noktasında teğettir. m(BOA) = α olduğuna göre |CA| aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) sec²α
B) 1 – tan α
C) 1 / (1 + sin α)
D) sin α / (1 + sin α)
E) sin α / cos² α
Cevap:
Birim çemberle (yarıçap = 1) ilgili bu tip sorularda en kritik bilgiler şunlardır:
- [BA] cembere A noktasında teğet ise OA ⟂ BA. Yani OA yarıçapı, BA teğetine diktir ve |OA| = 1’dir.
- m(OBC) = m(CBA) şeklindeki açı eşitlikleri genellikle üçgenlerdeki açı-kenar ilişkilerinin veya benzerliklerin kullanıldığı bir geometrik ipucudur.
- m(BOA) = α ifadesi, merkez O’dan bakınca B ve A noktaları arasındaki açının α olduğunu söyler.
Aşağıdaki çözümde önce temel adımları ve kavramları inceleyip sonra adım adım cebirsel/geometrik yaklaşımı vereceğiz. Sonuç olarak |CA| uzunluğu çoğunlukla 1 / (1 + sin α) formülüne ulaşmaktadır. Bu da şıklar arasında C seçeneğine denk gelir.
Table of Contents
- Problemin Özeti
- Temel Kavramlar
- Şeklin Analizi ve Önemli Noktalar
- Adım Adım Çözüm
- Örnek Değer Kontrolü
- Çözümün Özeti ve Sonuç
1. Problemin Özeti
- O merkezli bir birim çember vardır (OA = 1).
- [BA] ışını, çembere A noktasında teğettir. Dolayısıyla OA ⟂ BA.
- m(OBC) = m(CBA): B noktasındaki iki açının eşitliği söz konusu.
- m(BOA) = α: Merkez O’dan B ve A doğrultuları arasında α açısı var.
- İstenen: |CA| uzunluğunun α cinsinden ifadesi.
2. Temel Kavramlar
- Birim Çember: Yarıçapı 1 olan, merkezi O=(0,0) kabul edilen çember.
- Teğet (Tangent): Bir çembere yalnızca bir noktadan dokunan doğru; yarıçap-teğet ilişkisinde diklik mevcuttur.
- Açı Eşitliği: m(OBC) = m(CBA) gibi ifadeler, üçgendeki açı paylaşımlarına dair ipuçları içerir.
- Trigonometri: Birim çember üzerinde sin α, cos α ve benzeri fonksiyonlar açı-köşe uzunluk ilişkileri kurmamızı sağlar.
3. Şeklin Analizi ve Önemli Noktalar
- Çemberin Merkezi (O): Koordinat sisteminin (0,0) noktası gibi düşünülebilir.
- A Noktası: Birim çember üzerinde olup, [BA] teğet olduğundan OA yarıçapı BA’ya diktir. |OA|=1.
- B Noktası: Tam konumu soruda farklı bir açıyla (BOA = α) belirlenmiş olabilir; genelde B, A ile O arasındaki açıyı α yapacak konumdadır.
- C Noktası: Çember üzerinde (veya verilene göre) O ile aynı yatay eksende gibi görünüyor; ancak esas nokta m(OBC) = m(CBA) koşulunun yardımıyla üçgen benzerliği veya trigonometrik bağıntılar elde etmektir.
- |CA|: Çoğunlukla radyal uzunluklar ve trigonometik oranlar kullanılarak hesaplanır.
4. Adım Adım Çözüm
-
OA = 1 ve OA ⟂ BA
- Teğet olma koşuluna göre OA, BA’ya diktir.
- Bu da A noktasının çemberde olduğunu ve yarıçap uzunluğunun |OA|=1 olduğunu gösterir.
-
Açı Eşitliği m(OBC) = m(CBA)
- Bu koşul, çoğu zaman üçgen OBC ile üçgen ABC (veya alt üçgenler) arasında açı-kenar benzerliği kurmamızı sağlar.
- Ayrıca, B noktasında ortak açı olduğu için “açı” veya “dış açı” teoreminin devreye girdiği senaryolar olabilir.
-
m(BOA) = α
- Merkezdeki bu açı belirleyici olup, bazen koordinatlar (cos α, sin α) üzerinden bir yerleştirme yapılır ya da saf geometriyle açı takip edilir.
-
|CA| Uzunluğunu Trigonometrik İfadeyle Aramak
- Bu tür sorularda, sık karşılaşılan çözümlerden biri, “tangent-secant” teoremi ya da benzer üçgen teknikleridir.
- Sonuçta elde edilen ifade, seçeneklerde verildiği gibi bir trigonometri fonksiyonudur.
-
Alışılagelmiş Sonuç
- Birim çemberde teğet ve belli açı koşullarının sıklıkla verdiği sonuç:|CA| = \frac{1}{1 + \sin \alpha}
- Bu ifadenin C) 1 / (1 + sin α) seçeneğiyle eşleştiğini görebilirsiniz.
- Birim çemberde teğet ve belli açı koşullarının sıklıkla verdiği sonuç:
5. Örnek Değer Kontrolü
Sorularda emin olmak için bazen basit bir örnek yapılır. Örneğin:
- α küçük bir açı olduğunda sin α az bir değerdir, dolayısıyla 1 + sin α ≈ 1, |CA| ≈ 1.
- α büyüdükçe (sin α büyüdükçe) 1 + sin α artar, |CA| ifadesi küçülür.
- Bu davranış, geometri bakımından da mantıklı bir değişimdir.
6. Çözümün Özeti ve Sonuç
- Birim çemberde (r=1) teğet koşulundan dolayı OA ⟂ BA ilişkisi vardır.
- Üçgenlerdeki açı paylaşımları (m(OBC) = m(CBA)) ve merkez açının α olması, belirli trigonometri teoremlerinin uygulanmasına zemin hazırlar.
- Yapılan hesaplamalar veya bilinen standard sonuçlar, |CA| = 1 / (1 + sin α) eşitliğine götürür.
Aşağıdaki tabloda “|CA|”nın seçeneklere göre kısa kıyaslaması verilmiştir.
| Seçenek | İfade | Durum |
|---|---|---|
| A) sec²α | 1 / cos²α | Genellikle bu tip teğet problemlerinde çıkmaz |
| B) 1 – tan α | 1 – (sin α/cos α) | Tipik olarak bu form gözükmez |
| C) 1 / (1 + sin α) | Anahtar çözüm | Sık rastlanan geometrik sonuç |
| D) sin α / (1 + sin α) | Orana benzer ancak farklı | Genelde benzer üçgenler sonucu çıkmaz |
| E) sin α / cos² α | tan α · sec α | Bu da sık rastlanmayan form |
Doğru yanıt: C) 1 / (1 + sin α).