Sorunun Çözümü:
Soruyu analiz ederek parçalar halinde çözüm yapacağız.
Sorunun Özeti:
a, b, c, d ile ilgili verilen bilgiler doğrultusunda, bu sayıları bulmamız ve toplamlarını hesaplamamız gerekiyor:
- \frac{a - 4}{b+5} hem tam sayı hem basit kesir.
- \frac{c}{a-b} tanımsızdır.
- \frac{c-b}{d-3} belirsizdir.
Sonuç olarak a + b + c + d toplamının değeri soruluyor.
Adım 1 – İlk İfadeyi İnceleme:
\frac{a - 4}{b+5} hem tam sayı hem basit kesir.
Bir kesrin hem tam sayı hem basit kesir olabilmesi için şu şartlar sağlanmalı:
- Tam sayı olması için: Pay b+5’e tam bölünmelidir.
- Basit kesir olması için: \frac{|a-4|}{b+5}'in değeri 1’den küçük olmalıdır.
Buradan çıkarımlar:
- b+5’nin değeri pozitif ve |a - 4| < b+5 olmalı.
En küçük b değeri ve uygun a değerleri denenerek çözüm yapılabilir.
Adım 2 – İkinci İfadeyi İnceleme:
\frac{c}{a - b} tanımsızdır.
Bir kesir tanımsız olabilmesi için paydası sıfır olmalıdır.
Buradan:
Adım 3 – Üçüncü İfadeyi İnceleme:
\frac{c-b}{d-3} belirsizdir.
Bir kesir belirsiz olması için hem payı hem paydası sıfır olmalıdır.
Buradan:
Adım 4 – Sonuçları Birleştirme:
Tüm verilere göre:
- a = b,
- c = b,
- d = 3.
Birinci ifadeden b+5 = |a - 4|, b değerini seçerek sağlamayı kontrol edelim:
- Eğer b = 2 ise:
$$b + 5 = 7, |a - 4| = 7 \implies a = 11$$ veya a = -3.
Pozitif tam sayılar seçerek devam edelim:
- a = 11, b = 2, c = b = 2, d = 3.
Toplamı Hesaplayalım:
Cevap:
a+b+c+d toplamı, soru şartlarına uygun bir şekilde 18 olarak bulunur.
Eğer yanlış yazım varsa, lütfen bana tekrar ulaşın!
Aşağıdaki çözüm yoluyla kolayca görülebilir:
-
(a – 4) / (b + 5) hem tam sayı hem de basit kesir olsun. Tam sayı ve |kesir| < 1 koşullarını aynı anda sağlayabilen tek değer 0’dır. Dolayısıyla
(a – 4) / (b + 5) = 0 ⇒ a – 4 = 0 ⇒ a = 4
ve b ≠ –5 (tanımsız olmaması için). -
–c / (a – b) ifadesi tanımsız ise payda sıfır olmalıdır:
a – b = 0 ⇒ 4 – b = 0 ⇒ b = 4. -
(c – b) / (d – 3) ifadesi “belirsiz” (0/0 gibi) olsun diye hem pay hem payda sıfır olmalıdır:
c – b = 0 ⇒ c – 4 = 0 ⇒ c = 4
d – 3 = 0 ⇒ d = 3.
Bu durumda a + b + c + d = 4 + 4 + 4 + 3 = 15.
a, b, c ve d birer gerçek sayı olmak üzere, (a−4)/(b+5) hem tam sayı hem basit kesir; −c/(a−b) tanımsız; (c−b)/(d−3) belirsiz olduğuna göre a + b + c + d kaçtır?
Çözüm:
-
(a − 4) / (b + 5) ifadesi:
- Hem tam sayı olması ⇒ Sonuç bir tam sayı değeri vermeli.
- Hem basit kesir olması ⇒ Kesrin mutlak değeri 1’den küçük olmalı. Bir ifadenin aynı anda hem tam sayı hem basit kesir olabilmesi ancak kesrin 0’a eşit olmasıyla mümkündür.
Yani
(a − 4) / (b + 5) = 0
⇒ a − 4 = 0
⇒ a = 4.
-
−c / (a − b) ifadesi tanımsız (yani payda 0!):
−c / (4 − b) tanımsız ⇒ 4 − b = 0
⇒ b = 4.
Tanımsız olması için pay(−c) ≠ 0 olması gerek, dolayısıyla c ≠ 0. -
(c − b) / (d − 3) ifadesi belirsiz (yani 0/0 durumu!):
- 0/0 olması için önce pay 0 olmalı:
c − b = 0 ⇒ c = b = 4 (burada c ≠ 0 koşulu da sağlanmış oldu). - Payda da 0 olmalı:
d − 3 = 0 ⇒ d = 3.
- 0/0 olması için önce pay 0 olmalı:
Bu değerlerle (a, b, c, d) = (4, 4, 4, 3) bulunur.
Sayıların toplamı:
a + b + c + d = 4 + 4 + 4 + 3 = 15
Cevap: 15