Soru:
Soruda verilen x, y ve z gerçel sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler verilmiş:
Burada, x - y - z işleminin alabileceği en küçük değeri sorulmaktadır.
Çözüm:
1. Adım – En küçük değeri bulmak için müdahale:
Sorulan ifade x - y - z olduğundan, x’in en küçük değerini, y’nin en büyük değerini ve z’nin en büyük değerini seçerek işlemi minimuma indirgemeliyiz.
- x’in en küçük değeri: ( x = 5 )
- y’nin en büyük değeri: ( y = 4 )
- z’nin en büyük değeri: ( z = 2 )
2. Adım – İfade üzerine yerleştirme:
İfade şu şekilde hesaplanır:
Sonuç:
x - y - z işleminin alabileceği en küçük değer -1’dir.
Eğer soruda başka eşitsizlikler varsa belirtin ve kontrol edeceğim! 
@serap_gundogan
x, y ve z gerçel sayıları için, |x – y – z| = 2x, |x + z| = 6, |y + z – 2| = 4 olduğuna göre x·y·z çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Cevap:
Merhaba! Bu soruda bizden, üç gerçel sayı (x, y ve z) aşağıdaki koşulları sağlarken x·y·z çarpımının en büyük değerini bulmamız isteniyor:
- |x – y – z| = 2x
- |x + z| = 6
- |y + z – 2| = 4
Hedefimiz, tüm bu mutlak değerli koşulları aynı anda sağlayan x, y, z değerlerini bularak x·y·z’nin (çarpımın) mümkün olan en büyük değerini saptamaktır.
İçindekiler
- Mutlak Değer ve Temel Bilgiler
- Sorunun Genel Stratejisi
- Adım Adım Çözüm Aşamaları
- Denklemlerin Sistematik İncelenmesi ve Olası Durumlar
- Her Durumun Ayrıntılı Hesaplanışı
- Geçerli Çözümler ve x·y·z Değerleri
- En Büyük Değerin Seçilmesi
- Örneklerle ve Ek Açıklamalarla Derinlemesine Anlama
- Özet Tablo
- Sonuç ve Değerlendirme
1. Mutlak Değer ve Temel Bilgiler
Bu problemde, üç denklemde de mutlak değer ifadeleri yer alıyor:
- |x – y – z| = 2x
- |x + z| = 6
- |y + z – 2| = 4
Bir an için, her bir mutlak değer denkleminde şu prensibi hatırlayalım:
Bir ifadeyi A olarak tanımlarsak |A| = B, o zaman A = B veya A = –B biçiminde iki ayrı durumla ilgilenmemiz gerekir. Dolayısıyla, her mutlak değer denklemi altında iki ayrı olasılık olduğu için, toplamda epeyce durum ortaya çıkabilir.
Öte yandan, |x – y – z| = 2x ifadesinde sağ tarafın (2x) pozitif olması gerektiği akla gelebilir. Ancak mutlak değerli bir ifade daima ≥ 0 olduğu için, bu denklemde |x – y – z| = 2x eşitliğinin “mantıklı” olabilmesi için 2x’in de ≥ 0 olması gerekir. Yani x ≥ 0 olmalıdır ki bu eşitlik tutarlı olsun. Aksi hâlde |x – y – z| pozitif veya sıfır iken 2x negatif olamaz. Bu gözlem çözümde önemli bir basitlik sağlayacaktır.
2. Sorunun Genel Stratejisi
Bu tip bir soru çözerken şu yaklaşımı izlersiniz:
- Mutlak değer denklemlerini parantez açılır gibi iki farklı duruma ayırmak.
- Her biri için y, z ifadelerini x cinsinden türetmek.
- Çözümün tüm denklemleri aynı anda sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.
- Sonuçta (x, y, z) üçlüleri için x·y·z değerlerini hesaplayıp maksimum (en büyük) değeri seçmek.
Aşağıdaki adımlarda bu stratejiyi uygulayarak, olası tüm durumları sistematik biçimde ele alacağız.
3. Adım Adım Çözüm Aşamaları
Bu bölümde, her bir denklem için kısaca hangi olasılıklar ortaya çıkar onlara değineceğiz.
3.1. Birinci Denklem: |x – y – z| = 2x
- |A| = B formatında A = (x – y – z), B = 2x olsun.
- Bu, iki duruma ayrılır:
- x – y – z = 2x → (1A)
- x – y – z = –2x → (1B)
Birinci durum (1A):
x – y – z = 2x → –y – z = 2x – x = x → y + z = –x.
İkinci durum (1B):
x – y – z = –2x → –y – z = –2x – x = –3x → y + z = 3x.
Ayrıca, bu denklemden 2x = |x – y – z| ≥ 0 koşulu gereği x ≥ 0 değeri gözlenebilir.
3.2. İkinci Denklem: |x + z| = 6
- Bu da iki ayrı duruma ayrılır:
- x + z = 6
- x + z = –6
3.3. Üçüncü Denklem: |y + z – 2| = 4
- Bu denklem de iki duruma ayrılır:
- y + z – 2 = 4 → y + z = 6
- y + z – 2 = –4 → y + z = –2
4. Denklemlerin Sistematik İncelenmesi ve Olası Durumlar
Birinci denklemin (1) y + z için verdiği olasılıklar:
- y + z = –x
- y + z = 3x
Üçüncü denklemin (3) y + z için verdiği olasılıklar:
- y + z = 6
- y + z = –2
Dolayısıyla y + z, hem (1)’den gelen hem de (3)’ten gelen bir değeri aynı anda sağlamalıdır. Yani:
- (y + z) = –x veya (= 3x),
- (y + z) = 6 veya (= –2).
Bu dört kombinasyondan hangisi denk gelirse oradan x değeri bulunur. Ayrıca ikinci denklem x + z = ±6 ile birleştirildiğinde, y ve z’yi netleştirebiliriz.
4.1. Tablolu Durum Analizi
Aşağıdaki tabloda birinci denklemin (1) “y + z” bulgusu ile üçüncü denklemin (3) “y + z” bulgusu eşleştirilmiştir:
| Durum | (1)’in Sonucu | (3)’ün Sonucu | Eşleştirme | Bulunan x Değeri |
|---|---|---|---|---|
| 1 | y + z = –x | y + z = 6 | –x = 6 → x = –6 | x = –6 (Muhtemel) |
| 2 | y + z = –x | y + z = –2 | –x = –2 → x = 2 | x = 2 (Muhtemel) |
| 3 | y + z = 3x | y + z = 6 | 3x = 6 → x = 2 | x = 2 (Muhtemel) |
| 4 | y + z = 3x | y + z = –2 | 3x = –2 → x = –2/3 | x = –2/3 (Muhtemel) |
Bu tablo, her biri için x değerini önermektedir. Ancak kritik bir nokta var: |x – y – z| = 2x’ten dolayı x’in 0’dan büyük olması gerektiğini de akılda tutmalıyız. Eğer x negatif ise, 2x negatif olur ve |x – y – z| = 2x eşitliği tutarsız kalacaktır (sağ taraf negatif, sol taraf pozitif olamaz).
Dolayısıyla x ≥ 0 koşuluyla bakarsak:
- Durum 1’de x = –6, bu x < 0 olduğu için muhtemelen geçersiz.
- Durum 4’te x = –2/3, bu da x < 0, yine geçersiz.
Böylelikle sadece Durum 2 ve Durum 3 bize geçerli x değerleri (x = 2) vermektedir. Şimdi bu iki durumu inceleyip, her birinde x + z = ±6 koşuluyla y ve z değerlerini bulup x·y·z’yı hesaplayacağız.
5. Her Durumun Ayrıntılı Hesaplanışı
5.1. Durum 1: (y + z = –x) ve (y + z = 6) → x = –6
Tabloda görüldüğü gibi y + z = –6, y + z = 6 çelişkisi x = –6’ya götürür. Fakat x’in –6 olması durumunda |x – y – z| = 2x = –12 ifadesi geçerli olamayacaktır; çünkü sol taraf mutlak değer nedeniyle pozitif veya sıfır, sağ taraf –12’dir. Denemek istersek:
- x = –6
- y + z = 6 yani y + z = –(–6) = 6
- Kontrol: |x – y – z| = ?
Örneğin, x – y – z = –6 – y – z. y+z=6 ise –6 – 6= –12. |–12|=12, ama 2x = –12, bu çelişkiyi gösterir (12 ≠ –12). Dolayısıyla bu durum geçersizdir.
5.2. Durum 2: (y + z = –x) ve (y + z = –2) → x = 2
Bu durumda x = 2 çıkıyor. Üçüncü denklemle (y + z = –2) aynı anda birinci denklem y + z = –x (–2) ile de tutarlı. Bu defa ikinci denklem |x + z| = 6’dan x + z = ±6 olasılıklarını inceleyelim:
Alt-Durum 2A: x + z = 6
- x = 2 → 2 + z = 6 → z = 4
- y + z = –2 → y + 4 = –2 → y = –6
Bu noktada (x, y, z) = (2, –6, 4).
- Kontrol edelim:
- (1) |x – y – z| = |2 – (–6) – 4| = |2 + 6 – 4| = |4| = 4, 2x = 4, uyumlu.
- (2) |x + z| = |2 + 4| = |6| = 6, uyumlu.
- (3) |y + z – 2| = |–6 + 4 – 2| = |–4| = 4, uyumlu.
Bu kombinasyon geçerli. x·y·z = 2×(–6)×4 = –48.
Alt-Durum 2B: x + z = –6
- x = 2 → 2 + z = –6 → z = –8
- y + z = –2 → y – 8 = –2 → y = 6
Şimdi (x, y, z) = (2, 6, –8).
- Kontrol edelim:
- (1) |2 – 6 – (–8)| = |2 – 6 + 8| = |4| = 4, 2x = 4, yine uyumlu.
- (2) |x + z| = |2 + (–8)| = |–6| = 6, uyumlu.
- (3) |y + z – 2| = |6 – 8 – 2| = |–4| = 4, uyumlu.
Bu kombinasyon da geçerli. x·y·z = 2×6×(–8) = –96.
Yukarıdaki iki alt-durumdan elde ettiğimiz x·y·z değerleri –48 ve –96’dır. Bu iki değerden en büyüğü –48 olsa da, hâlâ diğer durumlarla kıyaslamak için beklemeliyiz.
5.3. Durum 3: (y + z = 3x) ve (y + z = 6) → x = 2
Bu sefer y + z = 3x ve y + z = 6’dan 3x = 6 → x = 2 elde edilir. İkinci denklemde yine x + z = ±6’yı deneyeceğiz.
Alt-Durum 3A: x + z = 6
- x = 2 → 2 + z = 6 → z = 4
- y + z = 6 → y + 4 = 6 → y = 2
Kontrol: (x, y, z) = (2, 2, 4).
- (1) |x – y – z| = |2 – 2 – 4| = |–4| = 4, 2x = 4, tutarlı.
- (2) |x + z| = |2 + 4| = 6, tutarlı.
- (3) |y + z – 2| = |2 + 4 – 2| = |4| = 4, tutarlı.
x·y·z = 2×2×4 = 16.
Alt-Durum 3B: x + z = –6
- x = 2 → 2 + z = –6 → z = –8
- y + z = 6 → y – 8 = 6 → y = 14
Kontrol: (x, y, z) = (2, 14, –8).
- (1) |2 – 14 – (–8)| = |2 – 14 + 8| = |–4| = 4, 2x = 4, tutarlı.
- (2) |2 + (–8)| = |–6| = 6, tutarlı.
- (3) |14 + (–8) – 2| = |6 – 2| = |4| = 4, tutarlı.
x·y·z = 2×14×(–8) = –224.
5.4. Durum 4: (y + z = 3x) ve (y + z = –2) → x = –2/3
x negatif olursa, |x – y – z| = 2x eşitliği tutarsız kalacağı (sol taraf ≥ 0, sağ taraf negatif) için bu durum da otomatik olarak elenir. Hızlıca kontrol: x = –2/3, 2x = –4/3, sol tarafın mutlak değer olması söz konusu iken –4/3 < 0, dolayısıyla eşitlik sağlanamaz.
6. Geçerli Çözümler ve x·y·z Değerleri
Yukarıdaki incelemeler sonucunda geçerli (x, y, z) üçlüleri ve onların x·y·z değerleri şöyle:
- (x, y, z) = (2, –6, 4) → x·y·z = –48
- (x, y, z) = (2, 6, –8) → x·y·z = –96
- (x, y, z) = (2, 2, 4) → x·y·z = 16
- (x, y, z) = (2, 14, –8) → x·y·z = –224
Bu dört üçlü de denklemlerin üçünü birden sağlıyor, ancak çarpım değeri farklı çıkıyor.
7. En Büyük Değerin Seçilmesi
Yukarıdaki listede x·y·z’nin en büyük değeri 16’dır. Dolayısıyla,
x·y·z çarpımının alabileceği en büyük değer = 16.
Bu da bizden istenen nihai cevaptır.
8. Örneklerle ve Ek Açıklamalarla Derinlemesine Anlama
8.1. Mutlak Değerin Özellikleri
- |A| ≥ 0.
- |A| = B ⇒ A = B veya A = –B.
- |A| = |B| ⇒ A = B veya A = –B.
- |k·A| = |k|·|A|.
Bu problemde de gördüğümüz gibi, her mutlak değer denklemi iki farklı lineer denklem ürettiğinden, sistemin toplamda çok sayıda olasılığı oluyor.
8.2. Neden Bazı Çözümler Elenir?
- |x – y – z| = 2x gibi bir denklemde, 2x mutlaka ≥ 0 olmak zorundadır; çünkü sol taraf bir mutlak değer. Dolayısıyla x < 0 alanında bulduğumuz değerler otomatikman elenir.
- Bunun dışında, elde edilen (x, y, z) üçlüsü diğer denklemlerle (|x + z| = 6, |y + z – 2| = 4) çeliştiğinde de çözüm ihraç edilir.
8.3. Üç Sayının Çarpımını Maksimize Etme Mantığı
Bir sistemde, x·y·z değerini maksimize etmeye çalışırken, bulduğumuz her uyumlu çözümün çarpım değerini not etmemiz ve bunların içinden büyüğünü seçmemiz gerekir. Çarpımın pozitif/negatif olması, hangi değişkenlerin işaret taşıdığına ve büyüklüğüne bağlıdır.
9. Özet Tablo
Aşağıda, geçerli çözümleri ve çarpım değerlerini gösteren bir tablo verilmektedir:
| Durum | x | y | z | Sağlanan Denklemler | x+y+z Kontrolleri | x·y·z |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2A | 2 | –6 | 4 | 2 – (–6) – 4 | =4, | |
| 2B | 2 | 6 | –8 | 2 – 6 – (–8) | =4, | |
| 3A | 2 | 2 | 4 | 2 – 2 – 4 | =4, | |
| 3B | 2 | 14 | –8 | 2 – 14 – (–8) | =4, |
Bu tabloda yalnızca x ≥ 0 çıkan ve denklemlerin tümünü sağlayan çözümler listelenmiştir. Gördüğümüz üzere, x·y·z çarpımının en büyük olduğu satır 16 değerine sahip olan satırdır.
10. Sonuç ve Değerlendirme
Böylece, üç mutlak değerli denklem sistemini çözerek bulduğumuz (x, y, z) üçlüleri arasında x·y·z’nin alabileceği en büyük değer 16 olarak bulunur. Diğer valid çözümlerde çarpım negatif çıktığı için, pozitif 16 açık arayla maksimum değerdir.
• Soru:
|x – y – z| = 2x, |x + z| = 6, |y + z – 2| = 4
olduğuna göre, x·y·z’nin en büyük değeri nedir?
• Cevap:
16
Bu tip sorularda mutlak değerlerin oluşturduğu “iki ayrı denklem” mantığını dikkatle uygulamalı, tüm durumları tek tek kontrol etmeli ve ayrıca problemdeki x ≥ 0 gibi gizli ipuçlarını atlamamalıyız. Son olarak elde edilen geçerli çözümlerin çarpım değerleri incelenerek sorunun istediği “en büyük” (veya başka bir kritere göre en küçük) değer seçilir.
Soru
Gönderdiğiniz fotoğraftaki soru ne yazık ki kısmen görülüyor ve metnin tamamı okunamadığı için kesin bir çözüm yapmak mümkün olmuyor. Özellikle x, y ve z arasındaki eşitsizliklerin tam biçimini, hangilerinin “<” ya da “≤” biçiminde olduğunu ve soruda tam olarak hangi ifadenin (toplam mı, çarpım mı vb.) en büyük değerini aradığımızı net şekilde bilmemiz gerekiyor.
Eğer soruda,
• x, y ve z’nin gerçel (reel) sayılar olduğu,
• Bazı eşitsizliklerle (örneğin “x > y + 1”, “x > z + 2”, “x + z < 4” gibi) kısıtlandıkları,
• Buna göre x + y + z (veya benzeri bir ifade) için “en büyük değer” sorulduğu,
• Cevap şıklarının A)16, B)12, C)-18, D)24 ve E)-48 olduğu
belirtilmişse, tek tek bu eşitsizlikleri kullanarak ifadenin üst sınırını kontrol etmek gerekir. Ancak çoğu benzer problemde, x ya da z’nin yukarıdan da sınırlanmadığı durumlarda bu toplam (veya çarpım) genellikle sınırsızca büyüyebilir ve “maksimum” olmaz.
Dolayısıyla:
- Soruda x, y, z’nin hepsi için ya bir alt ve üst sınır olacak (örneğin “0 ≤ x ≤ 3” gibi),
- Veya mutlak değer içeren kısıtlar yer alacak,
- Ya da x, z, y arasındaki eşitsizlikler, “<” yerine “≤” gibi kapalı aralık kısıtlamalarıyla verilecek
ki ifade gerçekten bir üst sınıra sahip olsun.
Elimizdeki fotoğrafta bu detaylar görünmediğinden, koşullar eksik kalıyor. Bize tüm eşitsizlikler ve hangi ifadenin (toplam mı, yoksa x + y - z vb. başka bir kombinasyon mu) en büyük değerinin istendiği açıkça gereklidir. Bu nedenle lütfen:
• Soru metnini eksiksiz biçimde yazmanız,
• Tüm eşitsizlikleri (x + z < 4 mü, x + z ≤ 4 mü gibi) harfiyen belirtmeniz,
• Sorunun tam olarak “x + y + z mi, x + y - z mi, yoksa x·y·z mi” ifadesini sorduğunu netleştirmeniz,
• Ve seçeneklerin başlığının tam metnini paylaşmanız
gerektiğini belirtmek isterim. Böylece soruyu doğru yorumlayıp adım adım çözüm sunabiliriz.