Gerçel sayılarda tanımlı,
f(x) = x^3 + 2x + 1
fonksiyonuna üzerindeki A(1, k) noktasından çizilen teğet, eğriyi başka bir B(m, n) noktasında kesmektedir.
Buna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) -18
B) -13
C) -9
D) 3
E) 7
Türevin Geometrik Yorumu ve Teğet Doğrusunun Eğriyi Kestiği Nokta
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir fonksiyona teğet olan doğru ile eğrinin ortak çözümünde teğet noktası çift katlı köktür. y = f(x) eğrisi ile teğet doğrusunun ortak denkleminde kökler toplamı (Vieta Bağıntısı) kullanılarak kesim noktasının apsisi hızlıca bulunur: \sum x = x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Teğet Noktasının ve Teğet Eğiminin Bulunması
A(1, k) noktası f(x) = x^3 + 2x + 1 eğrisi üzerinde olduğundan ordinatı hesaplanır:
k = f(1) = 1^3 + 2(1) + 1 = 4 \implies A(1, 4)
Teğetin eğimi (m_t), fonksiyonun x = 1 noktasındaki birinci türevine eşittir:
f'(x) = 3x^2 + 2 \implies m_t = f'(1) = 3(1)^2 + 2 = 5
Adım 2 — Teğet Doğrusunun Denkleminin Yazılması
Eğimi m_t = 5 olan ve A(1, 4) noktasından geçen doğrunun denklemi:
y - 4 = 5(x - 1) \implies y = 5x - 1
Adım 3 — Eğri ile Teğetin Ortak Çözümü (B(m, n) Noktasının Bulunması)
Eğri ile doğru denklemini birbirine eşitleyerek ortak kesim noktalarını bulalım:
x^3 + 2x + 1 = 5x - 1 \implies x^3 - 3x + 2 = 0
x = 1 noktası teğet noktası olduğundan bu denklemde çift katlı köktür (x_1 = 1, x_2 = 1). Üçüncü kök ise kesim noktasının apsisi olan m değeridir. x^3 + 0x^2 - 3x + 2 = 0 denkleminde kökler toplamından:
1 + 1 + m = -\frac{0}{1} \implies 2 + m = 0 \implies m = -2
B(m, n) noktasının ordinatı (n), teğet denkleminde x = -2 yazılarak elde edilir:
n = 5(-2) - 1 = -11
Adım 4 — m + n Toplamının Hesaplanması
m + n = -2 + (-11) = -13
CEVAP: B) -13 (m + n = -13)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Üçüncü dereceden bir eğriye teğet olan bir doğrunun eğriyi kestiği diğer noktayı bulurken polinom bölmesi yapmak yerine, kökler toplamı kuralından (x_{\text{teğet}} + x_{\text{teğet}} + x_{\text{kesim}} = -\frac{b}{a}) yararlanmak AYT sınavında işlem hatasını önler ve ciddi zaman kazandırır.