Gerçel sayılarda tanımlı y = h(x) ve y = g(x) fonksiyonları
g(2) = g'(2) = 3
olmak üzere,
h(x) = (x + g(x))^2
eşitliği veriliyor.
Buna göre, h'(2) değeri kaçtır?
A) 2
B) 4
C) 5
D) 10
E) 40
Bileşke Fonksiyonlarda Türev ve Zincir Kuralı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Kuvvet içeren bileşke fonksiyonların türevi alınırken Zincir Kuralı (Chain Rule) uygulanır: [u(x)^n]' = n \cdot [u(x)]^{n-1} \cdot u'(x).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Fonksiyonun Türevini Alma
Verilen h(x) = (x + g(x))^2 fonksiyonunda iç kısım u(x) = x + g(x) olarak tanımlanır. Zincir kuralı gereğince kuvvet başa çarpan olarak geçer, üs bir azaltılır ve içinin türevi ile çarpılır:
h'(x) = 2 \cdot (x + g(x)) \cdot (x + g(x))'
Burada (x + g(x))' = 1 + g'(x) olduğuna göre:
h'(x) = 2 \cdot (x + g(x)) \cdot (1 + g'(x))
Adım 2 — x = 2 Değerini Yerine Yazma
Soruda verilen g(2) = 3 ve g'(2) = 3 değerleri türev denkleminde yerine konur:
h'(2) = 2 \cdot (2 + g(2)) \cdot (1 + g'(2))
h'(2) = 2 \cdot (2 + 3) \cdot (1 + 3)
h'(2) = 2 \cdot 5 \cdot 4 = 40
CEVAP: E) 40 (h'(2) = 40)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: İç fonksiyonun türevini alırken (x + g(x))' ifadesindeki x’in türevinin 1 olduğu unutulmamalı ve iç türev ana ifadeyle toplanmayıp çarpım durumunda yazılmalıdır.