Gerçel sayılarda tanımlı y = f(x) fonksiyonu,
f(f(x + 1) + 1) = 3x^2 + 7x - 45 ve f(4) = 3
olduğuna göre, f'(4)'ün pozitif değeri kaçtır?
A) 7
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
Bileşke Fonksiyonda Türev ve Zincir Kuralı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bileşke fonksiyonların türevi Zincir Kuralı (Chain Rule) ile hesaplanır; iç içe fonksiyonların türevinde dıştaki fonksiyonun türevi alınıp içinin türevi ile çarpılır: \frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Her İki Tarafın Türevinin Alınması
Verilen f(f(x + 1) + 1) = 3x^2 + 7x - 45 eşitliğinde her iki tarafın x’e göre türevi zincir kuralı uygulanarak alınır:
f'(f(x + 1) + 1) \cdot f'(x + 1) = 6x + 7
Adım 2 — f'(4) Değerini Elde Etmek İçin Uygun x Değerinin Belirlenmesi
İç kısımdaki ifadenin 4 olması için x = 3 seçilir. Soruda verilen f(4) = 3 değeri yerine yazıldığında:
f(3 + 1) + 1 = f(4) + 1 = 3 + 1 = 4
Adım 3 — Eşitlikte x = 3 Yazılarak Sonucun Bulunması
Türev denkleminde x = 3 yazıldığında hem dıştaki hem de içteki türev çarpanı f'(4) olur:
f'(4) \cdot f'(4) = 6(3) + 7
[f'(4)]^2 = 18 + 7 = 25
f'(4) = \pm 5
Soruda pozitif değer istendiği için f'(4) = 5 bulunur.
CEVAP: B) 5 (f'(4) = 5)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu tür iç içe türev sorularında önce hangi x değerinin fonksiyonun içini istenen değere dönüştürdüğü (f(4) = 3 \implies 3 + 1 = 4) kontrol edilmeli; zincir kuralı uygulanırken içerideki +1 sabitinin türevinin sıfır olduğu unutulmamalıdır.