Gerçel sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonlarının grafikleri aşağıda verilmiştir.
[Grafik görseli]
a , b ve c birer gerçel sayı olmak üzere,
g(a) < f(a) < b
g(c) > f(c) > 0
eşitsizlikleri veriliyor.
Buna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) a < b < c
B) b < a < c
C) c < b < a
D) c < a < b
E) b < c < a
Fonksiyon Grafikleri ve Eşitsizlik Yorumlama
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İki fonksiyonun grafiklerinde üstte kalan grafik daha büyük değerler alır (f(x) > g(x)). Fonksiyonun x ekseninin üstünde kalan kısmı pozitif (f(x) > 0), kesişim noktaları ise fonksiyonların birbirine eşit olduğu (f(x) = g(x)) yerlerdir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kesişim Noktası ve Aralıkların Belirlenmesi
Grafik incelendiğinde, f(x) ve g(x) fonksiyonlarının (1, 2) noktasında kesiştiği görülür:
f(1) = g(1) = 2
- x < 1 için f(x) > g(x) (kırmızı grafik, mavi grafiğin üstündedir).
- x > 1 için g(x) > f(x) (mavi grafik, kırmızı grafiğin üstündedir).
Adım 2 — a ve b Değerlerinin Analizi
Verilen ilk eşitsizlik g(a) < f(a) < b şeklindedir:
- f(a) > g(a) olduğundan, kırmızı grafiğin mavi grafikten üstte olduğu aralıkta olmalıdır:
a < 1
- f(x) fonksiyonu x \le 1 için azalandır ve a < 1 olduğundan f(a) > f(1) = 2 olur.
- b > f(a) olduğuna göre:
b > 2
Adım 3 — c Değerinin Analizi
Verilen ikinci eşitsizlik g(c) > f(c) > 0 şeklindedir:
- g(c) > f(c) şartı için mavi grafik üstte olmalıdır, yani c > 1.
- f(c) > 0 şartı için kırmızı grafik x ekseninin üzerinde kalmalıdır. Grafikte f fonksiyonunun x eksenini kestiği nokta 2 olduğundan, f(x) > 0 için x < 2 olmalıdır.
- İki durum birleştirildiğinde:
1 < c < 2
Adım 4 — Sayıların Sıralanması
Bulunan aralıklar sayı doğrusu üzerinde karşılaştırıldığında:
a < 1 < c < 2 < b
elde edilir. Buradan doğru sıralama a < c < b olarak bulunur.
CEVAP: D) a < c < b
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu tarz sorularda fonksiyon denklemini bulmaya çalışmak yerine grafiğin kritik noktalarını (kesişim noktası x=1 ve eksen kesim noktası x=2) referans alarak değişkenleri aralıklara sıkıştırmak soruyu saniyeler içinde çözdürür.