Gerçel sayiar kümesinde lanmit fve g fonksiyontarr tçin
g fonksıyonu her. noktada surekidir
Buna göre,
hmtf-g O-gi0)
x)fonksiyonu gerçelisayılat kumesinde súreklidir
W foX +g(x) fonksiyonu gerçel sayilar kúmesinde
súreklidir
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
A) Yalniz I
D) I ve III
8) Yalnız1
C)I ve
E) II ve II|
Gerçel Sayılar Kümesinde Tanımlı Fonksiyonlarda Süreklilik Analizi
KULLANILAN TEMEL KAVRAMLAR:
Bir h(x) fonksiyonunun bir a noktasında sürekli olması için:
- \lim_{x \to a} h(x) limitinin mevcut olması,
- h(a) değerinin tanımlı olması,
- \lim_{x \to a} h(x) = h(a) eşitliğinin sağlanması gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Birinci Öncülün Analizi (I)
Soruda f \cdot g fonksiyonunun her noktada sürekli olduğu verilmiştir. Süreklilik tanımı gereği, bir fonksiyon bir noktada sürekliyse o noktadaki limiti, fonksiyonun o noktadaki değerine eşittir.
- h(x) = (f \cdot g)(x) olsun.
- h(x) her yerde sürekliyse, x=0 noktasında da süreklidir.
- Bu durumda \lim_{x \to 0} (f(x) \cdot g(x)) = f(0) \cdot g(0) eşitliği her zaman doğrudur.
Adım 2 — İkinci Öncülün Analizi (II)
İki fonksiyonun çarpımının sürekli olması, bu fonksiyonların ayrı ayrı sürekli olmasını gerektirmez.
- Örnek: g(x) = 0 (sabit fonksiyon) olsun. g(x) süreklidir.
- f(x) fonksiyonu ise x=0 noktasında süreksiz bir fonksiyon olsun (örneğin; x \geq 0 için 1, x < 0 için -1).
- Bu durumda (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot 0 = 0 olur ki bu her yerde süreklidir.
- Ancak f(x) süreksiz kalabilir. Bu nedenle bu ifade her zaman doğru değildir.
Adım 3 — Üçüncü Öncülün Analizi (III)
İkinci adımda verdiğimiz karşıt örnek burada da geçerlidir.
- Eğer g(x) = 0 ve f(x) süreksiz ise, (f \cdot g)(x) sürekli olur.
- Ancak bir sürekli fonksiyon (g) ile bir süreksiz fonksiyonun (f) toplamı olan f(x) + g(x) fonksiyonu süreksiz olacaktır.
- Dolayısıyla bu ifade de her zaman doğru değildir.
Adım 4 — Seçenek Karşılaştırması
I. Öncül: Süreklilik tanımı gereği kesinlikle doğrudur.
II. Öncül: Çarpımın sürekliliği, bileşenlerin sürekliliğini garanti etmez.- III. Öncül: Toplamın sürekliliği için her iki fonksiyonun karakterini bilmek gerekir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) Yalnız I
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Süreklilik
- Tanım: Fonksiyonun grafiğinde kopma, sıçrama veya boşluk olmaması durumudur.
- Bu problemde: (f \cdot g) bütünsel olarak sürekli verilmiştir, bu bütünü parçalamak (tek tek f veya g hakkında yorum yapmak) her zaman mümkün değildir.
SIK YAPILAN HATALAR:
“Çarpım sürekliyse fonksiyonlar da süreklidir” düşüncesi
- Yanlış: Matematikte iki süreksiz durumun çarpımı veya birinin “yutan eleman” olması sonucu sürekli bir yapı oluşabilir.
- Doğru: Sadece tek yönlü önerme geçerlidir: “İki fonksiyon sürekliyse çarpımları da süreklidir.” Bunun tersi her zaman doğru değildir.
Benzer bir süreklilik sorusu üzerinden limit kurallarını pekiştirmek ister misin?