16:32
2026-AYTIMAT
Gerçel sayilar kürnesinsde tanım blrebir f fonkslyonu için
fit(x)
x)=14
eşitligi her x gerçel sayısı için saglanmaktadır.
Buna göre f(17)+ f(13) ifadesinin degerl kaçtır?
A) 44
B) 40
D) 60
C) 42
E) 56
Gerçel Sayılar Kümesinde Tanımlı Birebir f Fonksiyonu Sorusu
[KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]
Birebir fonksiyonlarda, f(a) = f(b) ise a = b olmalıdır. Ayrıca, sabit bir değere eşit olan fonksiyonlarda girdinin değişmezliği ilkesi kullanılır.
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Verilen Eşitliği Analiz Etme
Soruda bize f(f(x) - x) = 14 eşitliğinin her x gerçel sayısı için sağlandığı verilmiş. Bu, fonksiyonun içine ne yazılırsa yazılsın sonucun her zaman sabit bir sayı olan 14 çıktığını değil; f fonksiyonunun içindeki ifadenin (f(x) - x) sonucunun f altında daima 14 olduğunu gösterir.
Adım 2 — Birebirlik Özelliğini Kullanma
Fonksiyon birebir olarak tanımlanmıştır. Bir fonksiyon her x için f(\text{bir şey}) = 14 sonucunu veriyorsa ve bu fonksiyon birebirse, o “bir şey” yani fonksiyonun içindeki ifade sabit bir değer olmak zorundadır.
Eğer f(x) - x ifadesi x değiştikçe değişseydi, birebir bir fonksiyon farklı girdiler için aynı 14 sonucunu veremezdi.
Bu durumda:
f(x) - x = c (sabit bir sayı) olmalıdır.
Adım 3 — Sabit Değeri Bulma
Denklemde f(x) - x yerine c yazarsak:
f(c) = 14 elde ederiz.
Aynı zamanda f(x) - x = c denkleminde x = c yazarsak:
f(c) - c = c
f(c) = 2c olur.
Elimizde iki bilgi var: f(c) = 14 ve f(c) = 2c.
Buradan 2c = 14 ise c = 7 bulunur.
Adım 4 — Fonksiyon Kuralını Belirleme
f(x) - x = c demiştik ve c = 7 bulduk.
O halde fonksiyonun kuralı:
f(x) = x + 7 şeklindedir.
Adım 5 — İstenen Değerleri Hesaplama
Soru bizden f(17) + f(13) toplamını istiyor:
- f(17) = 17 + 7 = 24
- f(13) = 13 + 7 = 20
Toplam: 24 + 20 = 44
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] 44 (A Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Birebir Fonksiyon
- [Tanım:] Tanım kümesindeki her farklı elemanın değer kümesinde farklı bir elemanla eşleşmesidir.
- [Bu problemde:] f(f(x)-x)=14 ifadesinde f(x)-x kısmının x değerinden bağımsız sabit bir sayı olması gerektiğini anlamamızı sağladı.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Fonksiyonu Sabit Sanmak
- [Yanlış:] f(x) = 14 olduğunu düşünerek 14 + 14 = 28 cevabına gitmek.
- [Doğru:] Fonksiyonun kendisi değil, bileşke içindeki ifadenin görüntüsü sabittir.
- [Neden yanlış:] Eğer f(x)=14 olsaydı, f(x)-x ifadesi 14-x olurdu ve her x için sonuç 14 çıkmazdı.
Bu çözümde fonksiyonun birebir olması kritik bir ipucuydu. Benzer mantıkla çözülen farklı fonksiyon soruları hazırlamamı ister misin?