Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksiyonları için (f + g)(x) = x² + 4 (f - g)(2x) = 4x - 2 eşitlikleri

Miko_Tako · Eylül 30, 2026, 3:35ös

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksiyonları için
(f + g)(x) = x^2 + 4
(f - g)(2x) = 4x - 2
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre f(4) dot g(2) çarpımının değeri kaçtır?
A) 25
B) 39
C) 42
D) 45
E) 52

Egitim_Danismani · Eylül 30, 2026, 3:35ös

Fonksiyonlarda İşlemler ile f(4) \cdot g(2) Çarpımının Hesaplanması

KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:

Fonksiyonlarda toplama ve çıkarma işlemleri:
- (f + g)(x) = f(x) + g(x)
- (f - g)(x) = f(x) - g(x)

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — f(4) değerini bulmak için gerekli denklemleri kuralım

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x^2 + 4 eşitliğinde x = 4 yazalım:

f(4) + g(4) = 4^2 + 4 = 16 + 4 = 20
(f - g)(2x) = f(2x) - g(2x) = 4x - 2 eşitliğinde parantez içinin 4 olması için x = 2 yazalım:

f(2 \cdot 2) - g(2 \cdot 2) = 4(2) - 2

f(4) - g(4) = 8 - 2 = 6

Adım 2 — Taraf tarafa toplayarak f(4) değerini hesaplayalım

Elde ettiğimiz iki denklemi alt alta toplayalım:

f(4) + g(4) = 20

f(4) - g(4) = 6

+ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

2f(4) = 26

f(4) = 13

Adım 3 — g(2) değerini bulmak için gerekli denklemleri kuralım

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x^2 + 4 eşitliğinde x = 2 yazalım:

f(2) + g(2) = 2^2 + 4 = 4 + 4 = 8
(f - g)(2x) = f(2x) - g(2x) = 4x - 2 eşitliğinde parantez içinin 2 olması için x = 1 yazalım:

f(2 \cdot 1) - g(2 \cdot 1) = 4(1) - 2

f(2) - g(2) = 4 - 2 = 2

Adım 4 — Taraf tarafa çıkararak g(2) değerini hesaplayalım

İkinci denklemi birinciden çıkaralım:

f(2) + g(2) = 8

-(f(2) - g(2) = 2)

+ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

2g(2) = 6

g(2) = 3

Adım 5 — İstenen çarpımı hesaplayalım

f(4) \cdot g(2) = 13 \cdot 3 = 39

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (39)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Fonksiyonlarda Dört İşlem

Tanım: Fonksiyonlarda toplama veya çıkarma yapılırken işlem aynı girdi değeri için ayrı ayrı hesaplanan fonksiyon değerleri üzerinden yürütülür.
Bu problemde: (f - g)(2x) ifadesi doğrudan f(2x) - g(2x) şeklinde açılmış ve parantez içindeki değişken değerine uygun x sayıları seçilerek istenen noktalar elde edilmiştir.

SIK YAPILAN HATALAR:

2x yerine doğrudan istenen değeri yazmak

Yanlış: (f - g)(2x) ifadesinde f(4) - g(4) bulmak için x yerine 4 yazıp 4(4)-2 = 14 bulmak.
Doğru: Parantez içinin 4 olması için 2x = 4 \implies x = 2 yazılmalıdır.
Neden yanlış: Fonksiyonun kuralındaki değişken x’tir; girdi 2x olduğu için x’e verilen değerin 2 katı fonksiyona girer.

Benzer tipte fonksiyonlarda bileşke veya dört işlem soruları çözmemi ister misin?

Miko_Tako · Eylül 30, 2026, 3:39ös

burada tek çözümle biteremez misin neden büssürü adımla çözüyosun ya

Egitim_Danismani · Eylül 30, 2026, 3:39ös

f(4) \cdot g(2) Çarpımının Pratik ve Tek Parça Çözümü

KULLANILAN KURAL:

İki ifadenin toplamı ve farkı bilindiğinde:
- Büyük olan (ilk fonksiyon) \rightarrow \frac{\text{Toplam} + \text{Fark}}{2}
- Küçük olan (ikinci fonksiyon) \rightarrow \frac{\text{Toplam} - \text{Fark}}{2}

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Step 1 — f(4) Değerini Tek İşlemle Bulma

x = 4 için: f(4) + g(4) = 4^2 + 4 = 20
2x = 4 \implies x = 2 için: f(4) - g(4) = 4(2) - 2 = 6

f(4) = \frac{20 + 6}{2} = 13

Step 2 — g(2) Değerini Tek İşlemle Bulma

x = 2 için: f(2) + g(2) = 2^2 + 4 = 8
2x = 2 \implies x = 1 için: f(2) - g(2) = 4(1) - 2 = 2

g(2) = \frac{8 - 2}{2} = 3

Step 3 — İstenen Çarpım

f(4) \cdot g(2) = 13 \cdot 3 = 39

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (39)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Hızlı Denklem Çözme Pratiği

Tanım: a + b ve a - b verildiğinde denklemleri alt alta yazıp uzun uzun yok etmek yerine doğrudan (T + F)/2 ile a, (T - F)/2 ile b bulunur.
Bu problemde: Farklı girdiler (4 ve 2) istendiği için iki ayrı noktada bu pratik kural tek satırda uygulanmıştır.

SIK YAPILAN HATALAR:

Fonksiyonları tek bir fonksiyona dönüştürmeye çalışmak

Yanlış: f(x) ve g(x) fonksiyonlarının genel kurallarını bulmak için uzun cebirsel işlemler yapmak.
Doğru: Sadece sorulan noktalara (x=4 ve x=2) odaklanıp doğrudan sayısal değerleri yerine yazmak.
Neden yanlış: Genel kural bulmaya çalışmak zaman kaybettirir; TYT/AYT’de doğrudan değer vermek en hızlı yoldur.

Bu pratik yöntemi uygulayabileceğimiz başka bir fonksiyon sorusu çözmek ister misin?

Miko_Tako · Eylül 30, 2026, 4:09ös

@Egitim_Danismani Basta deger bulurken neden çıkardık g4 u

Egitim_Danismani · Eylül 30, 2026, 4:09ös

f(4) Değerini Bulurken g(4) İfadesinin Yok Edilme Nedeni

KULLANILAN KURAL: İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinde Yok Etme Metodu

İki bilinmeyenli bir sistemde aranan değişkene doğrudan ulaşmak için diğer değişken zıt işaretlerle toplanarak sıfırlanır (+a + (-a) = 0).

AÇIKLAMA VE İŞLEM ADIMLARI:

Adım 1 — Elimizdeki İki Bilinmeyenli Durumu Belirleme
Elimizde 4 noktası için iki ayrı eşitlik vardı:

f(4) + g(4) = 20
f(4) - g(4) = 6

Burada iki bilinmeyen (f(4) ve g(4)) bulunmaktadır. Soru bizden yalnızca f(4) değerini istediği için g(4)'ten kurtulmamız gerekir.

Adım 2 — Taraf Tarafa Toplama İşleminin Mantığı
İki eşitliği alt alta topladığımızda sol taraftaki terimler şu şekilde birleşir:

[f(4) + g(4)] + [f(4) - g(4)] = 20 + 6

Parantezleri açıp benzer terimleri yan yana getirelim:

f(4) + f(4) + g(4) - g(4) = 26

Burada +g(4) ile -g(4) birbirini nötrler (sonuç 0 olur):

2f(4) + 0 = 26

2f(4) = 26

f(4) = 13

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ÖZET: g(4) fazlalık bir bilinmeyen olduğu için, +g(4) ve -g(4)'ün zıt işaretli olmasından faydalanıp taraf tarafa topladık ve g(4)'ü sıfırlayarak (yok ederek) doğrudan f(4)'e ulaştık.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Yok Etme Yöntemi (Elimination Method)

Tanım: Denklem sistemlerinde istenmeyen değişkenin katsayılarını zıt işaretli hale getirip toplayarak tek bilinmeyene düşme yöntemidir.
Bu problemde: g(4)'ün katsayıları zaten +1 ve -1 olduğu için fazladan bir sayı ile çarpmaya gerek kalmadan doğrudan toplama yapılarak g(4) elenmiştir.

SIK YAPILAN HATALAR:

g(4)'ü bulmaya çalışarak vakit kaybetmek

Yanlış: Önce g(4)'ün değerini hesaplayıp ardından onu yerine koyarak f(4)'ü bulmaya çalışmak.
Doğru: Zıt işaretli terimleri doğrudan toplayıp istenen f(4) değerini tek hamlede çekmek.
Neden yanlış: Çözümü uzatır ve işlem hatası riskini artırır.

Denklem sistemlerinde yok etme veya yerine koyma metoduyla ilgili aklına takılan başka bir detay var mı?

Sorumatik · Eylül 30, 2026, 11:49ös

@sorumatik_uzman_bot

Egitim_Danismani · Eylül 30, 2026, 11:49ös

Fonksiyonlarda İşlemler: Soru Özeti ve Pratik Çözüm Rehberi

TEMEL FORMÜLLER VE KURALLAR:

Fonksiyonlarda Toplama: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Fonksiyonlarda Çıkarma: (f - g)(x) = f(x) - g(x)
Yok Etme Kuralı: İki bilinmeyenli sistemlerde taraf tarafa toplama veya çıkarma yapılarak tek değişkene ulaşılır.

HIZLI VE NET ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — f(4) Değerini Hesaplama

Toplam fonksiyonunda x = 4 yazılır:
f(4) + g(4) = 4^2 + 4 = 20
Fark fonksiyonunda parantez içinin 4 olması için 2x = 4 \implies x = 2 yazılır:
f(4) - g(4) = 4(2) - 2 = 6
İki denklem taraf tarafa toplanarak g(4) terimleri yok edilir:
2f(4) = 26 \implies f(4) = 13

Adım 2 — g(2) Değerini Hesaplama

Toplam fonksiyonunda x = 2 yazılır:
f(2) + g(2) = 2^2 + 4 = 8
Fark fonksiyonunda parantez içinin 2 olması için 2x = 2 \implies x = 1 yazılır:
f(2) - g(2) = 4(1) - 2 = 2
İlk denklemden ikinci denklem çıkarılarak f(2) terimleri yok edilir:
2g(2) = 6 \implies g(2) = 3

Adım 3 — İstenen Çarpımı Bulma

f(4) \cdot g(2) = 13 \cdot 3 = 39

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (39)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Fonksiyon Girdisini Ayarlama

Tanım: (f - g)(2x) ifadesinde istenen noktaya ulaşmak için parantez içi, hedeflenen sayıya eşitlenir (2x = 4 \implies x = 2 ve 2x = 2 \implies x = 1).
Bu problemde: x yerine doğrudan 4 veya 2 yazmak yerine, fonksiyona giren ifadenin 2x olduğu dikkate alınmıştır.

2. Taraf Tarafa Yok Etme Mantığı

Tanım: Toplamları (A+B) ve farkları (A-B) bilinen ifadelerde, A’yı bulmak için denklemler toplanır; B’yi bulmak için çıkarılır.
Bu problemde: f(4) aranırken g(4) yok edilmiş, g(2) aranırken f(2) elenmiştir.

SIK YAPILAN HATALAR:

Girdi ile Değişkeni Karıştırmak

Yanlış: (f - g)(2x) denkleminde f(4) - g(4)'ü bulmak için x yerine 4 yazıp 4(4) - 2 = 14 bulmak.
Doğru: İçi 4 yapmak için 2x = 4 eşitliğinden x = 2 yazılmalıdır (4(2) - 2 = 6).
Neden yanlış: Fonksiyonun argümanı 2x olduğu için değişkene verilecek değer hedefin yarısı olmalıdır.

Bu soru kalıbını tam olarak pekiştirmek için benzer bir fonksiyon sorusu üretip birlikte çözelim mi?

Egitim_Danismani · Ekim 1, 2026, 12:09öö

(f+g)(x) ve (f-g)(2x) Fonksiyonları Yardımıyla f(4) \cdot g(2) Çarpımının Hesaplanması

KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f - g)(x) = f(x) - g(x)
İki bilinmeyenli denklem sistemlerinde taraf tarafa toplama veya çıkarma yapılarak istenen değişkene doğrudan ulaşılır.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — f(4) değerine ulaşmak için gerekli eşitliklerin kurulması

(f + g)(x) = x^2 + 4 denkleminde x = 4 yazılır:
f(4) + g(4) = 4^2 + 4 = 20
(f - g)(2x) = 4x - 2 denkleminde parantez içinin 4 olması için 2x = 4 \implies x = 2 yazılır:
f(4) - g(4) = 4(2) - 2 = 6

Adım 2 — f(4) değerinin bulunması
Elde edilen iki denklem taraf tarafa toplanarak +g(4) ve -g(4) terimleri yok edilir:

[f(4) + g(4)] + [f(4) - g(4)] = 20 + 6

2f(4) = 26

f(4) = 13

Adım 3 — g(2) değerine ulaşmak için gerekli eşitliklerin kurulması

(f + g)(x) = x^2 + 4 denkleminde x = 2 yazılır:
f(2) + g(2) = 2^2 + 4 = 8
(f - g)(2x) = 4x - 2 denkleminde parantez içinin 2 olması için 2x = 2 \implies x = 1 yazılır:
f(2) - g(2) = 4(1) - 2 = 2

Adım 4 — g(2) değerinin bulunması
İkinci denklem birinciden çıkarılarak f(2) terimleri yok edilir:

[f(2) + g(2)] - [f(2) - g(2)] = 8 - 2

2g(2) = 6

g(2) = 3

Adım 5 — İstenen çarpım işleminin yapılması

f(4) \cdot g(2) = 13 \cdot 3 = 39

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (39)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Fonksiyon İçi Girdi Dönüşümü

Tanım: Fonksiyonun parantez içindeki girdi ifadesi ile dışarıdaki formülde yerine yazılacak değişken birbirinden farklı olabilir.
Bu problemde: (f - g)(2x) ifadesinde girdinin 4 olması için x yerine 4 değil, 2x = 4 denkleminden x = 2 yazılmıştır.

SIK YAPILAN HATALAR:

2x ifadesinde doğrudan hedef sayıyı yerine koymak

Yanlış: (f - g)(2x) için x=4 yazıp 4(4) - 2 = 14 bulmak.
Doğru: Parantez içindeki ifadenin istenen değere (4 veya 2) eşitlenerek