Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksiyonları
f(x) = \frac{x}{3} - 2m
g(x) = \frac{x}{m} + 2
olarak veriliyor.
f^{-1}(2) = g(-m)
olduğuna göre, m kaçtır?
A) -\frac{5}{6}
B) -\frac{2}{3}
C) 1
D) \frac{1}{3}
E) \frac{7}{6}
f(x) = \frac{x}{3} - 2m ve g(x) = \frac{x}{m} + 2 Fonksiyonları İçin m Değerinin Bulunması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Ters Fonksiyon Özelliği: f^{-1}(b) = a \iff f(a) = b
- Fonksiyon Değeri Bulma: Bir fonksiyonun kuralında değişken yerine verilen değer yazılarak görüntü değeri hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — g(-m) Değerini Hesaplama
g(x) fonksiyonunda x yerine -m yazılır:
g(-m) = \frac{-m}{m} + 2
g(-m) = -1 + 2 = 1
Adım 2 — Ters Fonksiyon Eşitliğini Düzenleme
Soruda f^{-1}(2) = g(-m) olarak verilmiştir. 1. Adımdaki sonucu yerine yazalım:
f^{-1}(2) = 1
Ters fonksiyon tanımı gereği (f^{-1}(b) = a \iff f(a) = b):
f(1) = 2
Adım 3 — f(1) = 2 Eşitliğini Kullanarak m Değerini Bulma
f(x) fonksiyonunda x yerine 1 yazılarak ifade 2’ye eşitlenir:
f(1) = \frac{1}{3} - 2m = 2
Bilinmeyeni yalnız bırakalım:
-2m = 2 - \frac{1}{3}
-2m = \frac{6 - 1}{3}
-2m = \frac{5}{3}
Her iki tarafı -2’ye bölelim:
m = \frac{5}{3 \cdot (-2)}
m = -\frac{5}{6}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) -\frac{5}{6}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ters Fonksiyon Özelliği
- Tanım: Bir f fonksiyonu a girdisini b’ye götürüyorsa (f(a) = b), ters fonksiyon f^{-1} ise b’yi a’ya götürür (f^{-1}(b) = a).
- Bu problemde: f^{-1}(2) ifadesini bulmak için fonksiyonun ters kuralını çıkarmak yerine doğrudan f(1) = 2 bağıntısı kullanılarak işlem kısaltılmıştır.
2. Rasyonel Denklemler
- Tanım: İçinde bilinmeyen ve rasyonel ifadeler bulunan eşitliklerin çözülmesidir.
- Bu problemde: \frac{1}{3} - 2m = 2 denkleminde payda eşitleme ve katsayı bölme adımları uygulanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
f^{-1}(2) için ters fonksiyon kuralı bulurken hata yapmak
- Yanlış: Fonksiyonun ters kuralını bulup yerine değer yazarken payda eşitlemelerinde ve işaretlerde işlem hatası yapmak.
- Doğru: f^{-1}(2) = k \implies f(k) = 2 bağıntısını doğrudan kullanmak.
- Neden yanlış: Ters kuralı çıkarmak gereksiz işlem yükü oluşturur ve hata yapma olasılığını artırır.
g(-m) ifadesinde paydadaki m’yi unutmak
- Yanlış: \frac{-m}{m} oranını -m olarak almak.
- Doğru: Aynı ifadelerin bölümünün (m \neq 0) -1 olduğunu bilmek.
- Neden yanlış: Katsayılar ile değişken sadeleştirmesi birbirine karıştırılmamalıdır.
Bu konuyla ilgili fonksiyonlarda bileşke veya ters alma içeren benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?