Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f fonksiyonunun integralini hesaplama

YKS TYT
1

Gerçal sayilar kümesi üzerinde tanimlt bir f fonksiyonu
2x-1
3x-2x.
X>0
bigimindo tanımianiyor,
Buna göre,

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli800×600 47.1 KB

2

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f fonksiyonunun integralini hesaplama

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

Parçalı fonksiyonların belirli integralini hesaplarken, integrali fonksiyonun kritik noktalarına (bu soruda x = 0) göre parçalamamız gerekir:

\int_{a}^{c} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{b}^{c} f(x) \, dx

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — İntegrali Kritik Noktaya Göre Parçalama
Fonksiyon x < 0 ve x > 0 için farklı tanımlandığı için, -2’den 2’ye olan integrali 0 noktasından ikiye ayırıyoruz:

\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = \int_{-2}^{0} (2x - 1) \, dx + \int_{0}^{2} (3x^2 - 2x) \, dx

Adım 2 — Birinci Bölgenin İntegralini Hesaplama (x < 0)
\int_{-2}^{0} (2x - 1) \, dx ifadesinin integralini alalım:

  • İntegral: [x^2 - x]_{-2}^{0}
  • Üst sınır (0): (0^2 - 0) = 0
  • Alt sınır (-2): ((-2)^2 - (-2)) = (4 + 2) = 6
  • Sonuç: 0 - 6 = -6

Adım 3 — İkinci Bölgenin İntegralini Hesaplama (x > 0)
\int_{0}^{2} (3x^2 - 2x) \, dx ifadesinin integralini alalım:

  • İntegral: [x^3 - x^2]_{0}^{2}
  • Üst sınır (2): (2^3 - 2^2) = (8 - 4) = 4
  • Alt sınır (0): (0^3 - 0^2) = 0
  • Sonuç: 4 - 0 = 4

Adım 4 — Sonuçları Toplama
Bulduğumuz iki değeri toplayarak toplam integrali elde ederiz:

-6 + 4 = -2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: -2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Parçalı Fonksiyon İntegrali

  • Tanım: Fonksiyonun kuralının değiştiği noktalarda integralin sınırlarının bölünmesi işlemidir.
  • Bu problemde: Fonksiyon 0 noktasında kural değiştirdiği için integral sınırları -2 \to 0 ve 0 \to 2 olarak belirlenmiştir.

2. Belirli İntegral Hesabı

  • Tanım: Bir fonksiyonun ters türevi (ilkel fonksiyonu) bulunduktan sonra üst sınır değerinden alt sınır değerinin çıkarılmasıdır.
  • Bu problemde: 2x-1 ve 3x^2-2x kurallarının türev öncesi halleri bulunarak sınırlar uygulanmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Sınırları Ayırmamak

  • Yanlış: Fonksiyonu tek bir kuralmış gibi -2’den 2’ye doğrudan entegre etmek.
  • Doğru: Her aralıkta o aralığa ait fonksiyon kuralını kullanmak.
  • Neden Yanlış: Parçalı fonksiyonlarda her bölge farklı bir alanı ve kuralı temsil eder.

:cross_mark: İşaret Hatası (Eksi Dağılımı)

  • Yanlış: Alt sınır çıkarılırken parantez kullanmamak: 0 - 4 + 2 = -2.
  • Doğru: 0 - (4 + 2) = -6.
  • Neden Yanlış: Negatif bir alt sınırın karesi veya küpü alınırken işlem önceliğine dikkat edilmelidir.

Bu sorudaki gibi parçalı fonksiyonların türevi veya sürekliliği ile ilgili başka bir örnek çözmemi ister misin?