Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f fonksiyonu, her a ve b gerçel sayısı için
f(a + b) = f(a) + f(b)
eşitliği sağlanmaktadır.
f(2) - f(1) = 8 olduğuna göre,
\frac{f(3) + f(4)}{f(5) - f(2)}
işleminin sonucu kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) \frac{7}{3}
E) \frac{5}{3}
Fonksiyonel Denklemler ve Değer Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Her a, b \in \mathbb{R} için f(a + b) = f(a) + f(b) şartını sağlayan fonksiyonlarda her n tam sayısı için:
$$f(n \cdot x) = n \cdot f(x) \implies f(n) = n \cdot f(1)$$ kuralı geçerlidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Fonksiyonun Temel Değerini (f(1)) Bulma
Verilen toplamsallık özelliğinden yararlanarak f(2) değerini f(1) cinsinden ifade edelim:
f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = 2f(1)
Bize verilen eşitlikte yerine yazalım:
f(2) - f(1) = 8
2f(1) - f(1) = 8 \implies f(1) = 8
Adım 2 — İstenen Fonksiyon Değerlerini f(1) Cinsinden Yazma
Aynı kuralı diğer terimler için de uygulayalım:
- f(3) = f(2 + 1) = f(2) + f(1) = 3f(1)
- f(4) = f(3 + 1) = 4f(1)
- f(5) = f(4 + 1) = 5f(1)
Adım 3 — İfadeyi Yerine Koyup Sadeleştirme
İstenen kesirli ifadede değerleri f(1) cinsinden yerine yazalım:
\frac{f(3) + f(4)}{f(5) - f(2)} = \frac{3f(1) + 4f(1)}{5f(1) - 2f(1)}
Pay ve paydayı toparlayalım:
\frac{7f(1)}{3f(1)}
f(1) = 8 \neq 0 olduğundan, f(1) terimleri sadeleşir:
\frac{7 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{7}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D Seçeneği — \mathbf{\dfrac{7}{3}}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Toplamsal Fonksiyon (Cauchy Fonksiyonel Denklemi): f(a + b) = f(a) + f(b) özelliği, fonksiyonun orijinden geçen f(x) = kx formunda doğrusal bir fonksiyon olduğunu gösterir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: f(a+b) = f(a)+f(b) kuralını unutup f(3)+f(4) ifadesini doğrudan f(7) gibi düşünüp işlem yapmaya çalışmak ya da f(1) değerini bulmadan çözüme ulaşılamayacağını zannedip vakit kaybetmek.- Doğru Yaklaşım: Tüm terimleri f(1) ortak çarpanına indirgemek; böylece pay ve paydadaki katsayılar oranı doğrudan sonuca götürür.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?