- Gerçel sayılar kümesi üzerinde bir f fonksiyonu
f(\frac{x}{2}) = \frac{x^2}{4} + 2x + 4
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, f(a) = 0 eşitliğini sağlayan a değeri kaç-
tır?
A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 - Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir f fonksiyonu
f(\frac{x+1}{3}) = \frac{2x-1}{2}
eşitliğini sağlıyor.
A) \frac{3}{5} B) \frac{2}{5} C) \frac{1}{5} D) 1 E) 2
Aşağıda sayfada yer alan 5. ve 6. soruların ayrıntılı çözümleri yer almaktadır.
5. Soru: Fonksiyonu Sıfıra Eşitleyen Değeri Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Fonksiyonun kuralını elde etmek için parantez içi değişken değişimi: \frac{x}{2} = t \implies x = 2t
- Tam kare özdeşliği: u^2 + 2uv + v^2 = (u + v)^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — f(t) kuralını elde etme
f\left(\frac{x}{2}\right) ifadesinde \frac{x}{2} = t dönüşümü yapıldığında x = 2t olur. Eşitliğin sağ tarafındaki x yerine 2t yazalım:
f(t) = \frac{(2t)^2}{4} + 2(2t) + 4
f(t) = \frac{4t^2}{4} + 4t + 4 = t^2 + 4t + 4
Adım 2 — Tam kare ifadesini oluşturma ve f(a) = 0 denklemini çözme
Bulunan fonksiyon kuralı bir tam karedir:
f(t) = (t + 2)^2
Bizden f(a) = 0 eşitliğini sağlayan a değeri istendiğinden:
f(a) = (a + 2)^2 = 0
a + 2 = 0 \implies a = -2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) -2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Değişken Değiştirme: Fonksiyonun parantez içindeki karmaşık ifadeyi tek bir değişkene (t, u veya a) dönüştürerek genel kuralı bulma yöntemidir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Sağdaki ifadede x yerine doğrudan a yazıp \frac{a^2}{4} + 2a + 4 = 0 denklemini a için çözmeye çalışmak (f(a) değil, f(a/2) bulunmuş olur).- Doğru Yaklaşım: İçerideki \frac{x}{2} ifadesinin tamamını a’ya eşitleyip x = 2a yazarak f(a) kuralını elde etmektir.
6. Soru: f(a) = a Eşitliğini Sağlayan Değeri Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \frac{x+1}{3} = a \implies x = 3a - 1
- Doğrusal denklem çözümü: f(a) = a
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Parantez içini a’ya eşitleyerek x’i çekme
f\left(\frac{x+1}{3}\right) = 2x - 1
Fonksiyonun girdisinin a olması için:
\frac{x+1}{3} = a \implies x+1 = 3a \implies x = 3a - 1
Adım 2 — x = 3a - 1 değerini fonksiyonda yerine yazma
f(a) = 2(3a - 1) - 1
f(a) = 6a - 2 - 1
f(a) = 6a - 3
Adım 3 — f(a) = a eşitliğini kurma ve a’yı bulma
6a - 3 = a
6a - a = 3
5a = 3 \implies a = \frac{3}{5}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) \frac{3}{5}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Sabit Nokta Mantığı: f(a) = a denklemi, bir fonksiyonun çıktısının girdisine eşit olduğu noktayı (grafiğin y = x doğrusunu kestiği yeri) ifade eder.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?