- E
Gerçel sayıilarda tanimlı ve türevli f fonksiyonu için,
f(x+h) - f(x) + f(h) -5xh
ve lim 2-7olduğuna göre, t’(1) kaçtır?
h \rightarrow 0 h
A) -2
B) -1
C)0
D) 1
E) 2
Soru Fotoğrafı:
Gerçel sayılarda tanımlı ve türevli f fonksiyonu için, f(x+h) = f(x) + f(h) - 5xh ve \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = 7 olduğuna göre, f'(1) kaçtır?
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Verilen fonksiyon ilişkisini inceleyelim
Elimizde:
f(x+h) = f(x) + f(h) - 5xh
var.
Adım 2 — f fonksiyonunun türevini bulmak için sınırlara bakalım
Fonksiyon f türevli olduğuna göre,
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
ifadesini kullanalım.
Adım 3 — Paydadaki ifadeyi yerine yazalım
\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{f(x) + f(h) - 5xh - f(x)}{h} = \frac{f(h)}{h} - 5x
Adım 4 — Limit alma
Bu durumda,
f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(h)}{h} - 5x \right) = \lim_{h \to 0}\frac{f(h)}{h} - 5x
Verilen:
\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = 7
Buradan,
f'(x) = 7 - 5x
Adım 5 — x=1 için türevi hesaplayalım
f'(1) = 7 - 5 \cdot 1 = 7 - 5 = 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: E) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
- Türev: Bir fonksiyonun o noktadaki değişim oranını verir.
- Limit: Fonksiyonun bir noktaya yaklaşırken aldığı değer.
- Fonksiyonun tanımlı ve türevli olması: Limitlerin ve türev tanımlarının kullanılabilmesine olanak sağlar.
Yaygın Hata:
Limit işleminde f(h) yerine doğrudan h almak
- Yanlış: f(h)'yi direkt atlamak.
- Doğru: Limitte f(h)/h ifadesi verilmişse, verilen limiti kullanmak gerekir.
- Neden Yanlış: Limit fonksiyonun davranışını gösterir, doğrudan tahmin yapılamaz.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Gerçel sayılarda tanımlı ve türevli f fonksiyonu için, f(x+h)=f(x)+f(h)-5xh ve \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h}=7 olduğuna göre, f'(1) kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Türev tanımı: \displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklemi türev tanımına uygun hâle getir
Denklemi yaz:
f(x+h)=f(x)+f(h)-5xh
Her iki tarafı h ile böl:
Sol taraf:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Sağ taraf:
\frac{f(h)}{h}-5x
Adım 2 — Limit al ve türevi elde et
Her iki taraf için h\to0 limiti al:
Sol taraf:
\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
= f'(x)
Sağ taraf:
\lim_{h\to0}\left(\frac{f(h)}{h}-5x\right)
= \lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h} - 5x
Verilen limite göre yerine koy:
f'(x)=7-5x
Adım 3 — x=1 koy ve sonucu bul
Setup: f'(1) için x=1 koy:
f'(1)=7-5\cdot 1
f'(1)=7-5
f'(1)=2
TEMEL KAVRAMLAR:
- Türev (f’(x))
- Tanım: Bir fonksiyonun noktasındaki anlık değişim oranıdır.
- Bu problemde: Türev tanımı \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} kullanılarak bulundu.
- Limit
- Tanım: Bir ifadenin bir değişken belirli bir değere yaklaşırken aldığı değer.
- Bu problemde: \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h}=7 bilgisi türevi belirlemekte kullanıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Bölme hatası
- Yanlış: Denklemi doğrudan türev yerine f(h)/h değerini x ile karıştırarak kullanmak.
- Doğru: Önce \frac{f(x+h)-f(x)}{h} formuna geçip sonra h\to0 limiti alınmalıdır.
- Neden yanlış: Türev tanımı kullanılmadan doğrudan yerine koymak hata verir.
- Düzeltme: Adım adım bölme ve limit alma uygulanmalı.
CEVAP: 2
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!