Gerçel katsayılı ve dördüncü dereceden P(x) polinomu için P(4) kaçtır?

YKS TYT
1

1000047486
1000047486720×409 28.8 KB

2

Real Coefficients Fourth Degree Polynomial Inequality Problem

Önemli Noktalar

  • P(x), gerçek katsayılı ve 4. dereceden bir polinomdur.
  • P(x) ≥ x eşitsizliğini her gerçek sayı için sağlamalıdır.
  • Verilenler: P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 3.
  • Sorulan: P(4) kaçtır?

P(x) ≥ x eşitsizliği, tüm gerçek x için sağlandığından, fonksiyon farkı olan Q(x) = P(x) - x ≥ 0 olmalıdır. Q(x) gerçek katsayılı 4. dereceden bir polinom olur ve tüm reel sayılar için negatif olamaz.

İçindekiler

  1. Problemin Analizi
  2. Q(x) ve Kökler Üzerinden Çözüm
  3. P(4) Değerinin Hesaplanması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Problemin Analizi

P(x) polinomunun 4. dereceden ve gerçek katsayılı olduğu verilmiş.
Eşitsizlik: P(x) ≥ x her x ∈ ℝ için geçerli.
Bu, Q(x) = P(x) - x için Q(x) \ge 0 demektir.

  • Q(x), 4. dereceden ve gerçek katsayılıdır.
  • Fonksiyon tüm reel sayılar için negatif olamaz.
  • Q(1) = P(1) - 1 = 0
  • Q(2) = P(2) - 2 = 4 - 2 = 2 ≥ 0
  • Q(3) = P(3) - 3 = 3 - 3 = 0

Görüldüğü üzere Q(x) kökleri 1 ve 3’tür (çünkü Q(1)=0 ve Q(3)=0).

Önemli Nokta

Q(x) ≥ 0, yani Q(x) negatif olamaz. Bir 4. dereceden polinomda negatif olmamak için, köklerdelerden en az çift çarpan olmalı (çift katmanlı kök), böylece işaret değişimi olmaz.

Q(x) ve Kökler Üzerinden Çözüm

Kökler: x = 1 ve x = 3, bunlar çift katmanlı kökler olabilir (en az ikinci dereceden çarpan).

Önerilen form:

Q(x) = (x-1)^2 (x-3)^2 \cdot a

Burada a gerçek katsayı.

Çünkü 4. derece ve bu iki kökün her biri çifttir → toplam 4 çarpan.

Katsayı a’yı bulma:

Q(x) = P(x) - x
4. dereceden polinom ve biçim uygun (tercihen baş katsayı pozitif, çünkü P(x) 4. dereceden ve eşitsizlik böyle sağlanıyor).

Şimdi, Q(2) değeri kullanılabilir:

Q(2) = P(2) - 2 = 4 - 2 = 2

Öte yandan:

Q(2) = a (2 - 1)^2 (2 - 3)^2 = a \cdot 1^2 \cdot (-1)^2 = a \cdot 1 \cdot 1 = a

Yani:

a = 2

P(4) Değerinin Hesaplanması

Q(x) = P(x) - x = 2 (x-1)^2 (x-3)^2

Dolayısıyla:

P(x) = x + 2 (x-1)^2 (x-3)^2

Şimdi x = 4 için:

P(4) = 4 + 2 (4 -1)^2 (4 - 3)^2 = 4 + 2 \times 3^2 \times 1^2 = 4 + 2 \times 9 \times 1 = 4 + 18 = 22

Cevap: B) 22

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Q(x) tanımı Q(x) = P(x) - x 4. dereceden polinom, Q(x)≥0
Kökler ve katmanlar x=1 ve x=3, çiftkökler Q(x) = a(x-1)^2(x-3)^2
Katsayı bulma Q(2) = 2 ⇒ a=2 a = 2
P(4) hesabı P(4) = 4 + 2 × 3^2 × 1^2 22

Sık Sorulan Sorular

1. Neden Q(x) polinomunun kökleri çift katmanlı olmalı?
Çünkü Q(x) \geq 0 tüm reel sayılar için sağlanıyor. Tek katmanlı köklerde işaret değişir ve Q(x) negatif olur. Çift katmanlı kök işaret değişimi yapmaz, polinom negatif olmaz.

2. Başka hangi formda ifade edilebilirdi?
Q(x), başka başka kök kombinasyonlarıyla yazılabilir ama verilen değerler ve dereceden ötürü en uygun yaklaşım çift katmanlı iki kök şeklindedir.

3. P(x) polinomunun derecesi neden 4?
Verilen problemde belirtilmiştir. Polinomun en yüksek kuvveti x⁴’tür.

Sonraki Adımlar

Çok değişkenli polinom eşitsizlikleri üzerine örnekler ister misiniz?
Ya da polinomların işaret tablolarıyla daha karmaşık eşitsizlik çözüm tekniklerine giriş yapalım mı?

@Rfa

3

Gerçel katsayılı ve dördüncü dereceden P(x) polinomu için P(4) kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Q(x)=P(x)−x polinomu tüm gerçek x için Q(x)≥0 sağlar.
  • Gerçek köklerin çift katlı olması gerekir.
  • Q(x)’in reel kökleri x=1 ve x=3 olduğundan Q(x)=a·(x−1)²·(x−3)² formundadır.

P(4)=22

İçindekiler

  1. Çözüm Özeti
  2. Adım Adım Çözüm
  3. Çift Katlı ve Tek Katlı Kök Karşılaştırması
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

1. Çözüm Özeti

P(x)−x polinomunu Q(x) olarak tanımlayalım. Q(x)≥0 olduğundan gerçek kökler çift katlıdır. P(1)=1 ve P(3)=3 sonuç olarak Q(1)=0 ve Q(3)=0. Buna göre

Q(x)=P(x)-x=a\,(x-1)^2\,(x-3)^2.

P(2)=4 → Q(2)=4−2=2 ⇒

2 = a\,(2-1)^2\,(2-3)^2 = a\cdot1\cdot1 \quad\Longrightarrow\quad a=2.

Dolayısıyla

P(x)=x+2\,(x-1)^2\,(x-3)^2

elde edilir ve

P(4)=4+2\,(4-1)^2\,(4-3)^2 = 4+2\cdot9\cdot1 = 22.

2. Adım Adım Çözüm

  1. Q(x)=P(x)−x polinomunu tanımla; Q(x)≥0.
  2. Q(x)’in reel kökleri çift katlıdır. Q(1)=0 ve Q(3)=0 olduğu için bu noktalar çift köktür.
  3. Derece(Q)=4 olduğundan form Q(x)=a·(x−1)²·(x−3)² olur.
  4. x=2 için Q(2)=P(2)−2=4−2=2, ayrıca Q(2)=a·1·1 ⇒ a=2 bulunur.
  5. Son adımda x=4 yazılarak P(4)=22 sonucu elde edilir.

3. Çift Katlı ve Tek Katlı Kök Karşılaştırması

Özellik Çift Katlı Kök Tek Katlı Kök
Q(x) işaret değiştirir mi? Hayır (≥0 polinomunda kalır) Evet (işaret değişir)
Polinom ≥0 şartıyla uyum Uygun Uygun değil
Multiplicity (çoğ.) 2, 4, … 1, 3, …
Grafikte temas noktası Teğet geçer Keserek geçer

4. Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
Q(x) tanımı Q(x)=P(x)−x –
Reel kökler Q(1)=0, Q(3)=0 Kök: 1, 3
Form Q(x)=a(x−1)²(x−3)² –
a katsayısı Q(2)=2 ⇒ a·1·1=2 a=2
Sonuç P(4)=4+2·3²·1² 22

5. SSS

  1. Q: Neden Q(x)=P(x)−x polinomunda reel kökler çift katlı olmalı?
    C: Q(x)≥0 şartı, grafiğin x-eksenini teğet geçmesini gerektirir; bu da çift katlı kök demektir.
  2. Q: Derecesi 4 olan bir polinomun tam olarak kaç reel kökü olabilir?
    C: En fazla 4, gerçek katsayılı polinomlarda çift katlı veya karmaşık kök kombinasyonları olabilir.
  3. Q: Q(x) formunun dışında başka bir çözüm modeli var mı?
    C: Hayır; çift katlı kök şartı ve verilen değerler formu zorunlu kılar.
  4. Q: a katsayısını bulmak için başka hangi x değeri kullanılabilir?
    C: P(x)−x= verilen P(x) değerine eşit olan herhangi bir x kullanılır (örneğin x=1 veya x=3 sıfır yaptığı için buradan bilgi gelmez).

Sonraki adım olarak benzer bir problem üzerinde adım adım çözüm ister misiniz?
@Rfa