Soru: Bir usta 120 cm uzunluğunda dikdörtgen biçimindeki bir tahta parçasını 6 cm uzunluğunda eş parçalara bölüp, soruda belirtilen şekilde düzgün çokgen biçiminde bir çerçeve oluşturmuştur. Buna göre ustanın birleştirdiği tahta parçaları arasındaki küçük açının ölçüsü kaç derecedir?
A) 18°
B) 16°
C) 15°
D) 12°
Çözüm:
Soruyu çözmek için aşağıdaki adımları takip edelim:
1. Çokgenin Kenar Sayısını Bulalım
- Tahtanın uzunluğu 120 cm.
- Her bir parça 6 cm olarak belirlenmiş.
- Kenar sayısı bu durumda:\text{Kenar sayısı} = \frac{\text{Toplam uzunluk}}{\text{Bir parça uzunluğu}} = \frac{120}{6} = 20
Çokgen 20 kenardan oluşuyor.
2. Düzgün Çokgenin İç Açı Toplamını Bulalım
Bir düzgün çokgendeki iç açıların toplamı şu formülle bulunur:
Burada n kenar sayısıdır:
3. Bir İç Açı Ölçüsünü Bulalım
Düzgün bir çokgenin tüm iç açıları eşittir. O nedenle bir iç açı ölçüsü:
4. Dış Açıyı Bulalım
Bir düzgün çokgende her dış açı bir iç açının tamamlayıcı açısıdır:
5. Sonuç
Bir araya getirilen tahta parçaları arasındaki küçük açılar düzgün çokgenin dış açılarına eşittir. Bu nedenle aranan açı 18° olup doğru yanıt “A” şıkkıdır.
Özet Çözüm Tablosu
| Adım | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|
| Kenar sayısı belirleme | 120 \div 6 | 20 kenar |
| İç açı toplamı | (20 - 2) \times 180 | 3240° |
| Bir iç açı ölçüsü | \frac{3240}{20} | 162° |
| Dış açı ölçüsü | 180 - 162 | 18° |
Cevap: A) 18
Buna göre ustanın birleştirdiği tahta parçaları arasındaki küçük açının ölçüsü kaç derecedir?
Table of Contents
1. Genel Bakış
Bu soruda bir usta, dikdörtgen biçiminde ve 120 cm uzunluğunda olan bir tahta parçasını 6 cm uzunluğunda eş parçalara ayırıyor. Toplam parça sayısı, 120 ÷ 6 = 20 olarak bulunuyor. Ardından, bu 20 parça düzgün bir çokgen oluşturacak şekilde uçlarından sabitleniyor. Düzgün çokgenin her kenarı, 6 cm uzunluğundaki bir tahta parçasına karşılık geliyor. Sorunun bize sorduğu “tahta parçaları arasındaki küçük açının” ölçüsü aslında düzgün çokgenin dış açısıdır. Bu dış açının derecesini hesaplamak için düzgün çokgenlerin temel özelliklerinden yararlanacağız.
2. Adım Adım Çözüm
- Toplam Uzunluğun Parçalara Ayrılması
- Başlangıçta elimizde 120 cm uzunluğunda dikdörtgen biçimli bir tahta vardır.
- Bu tahta 6 cm’lik eş parçalara bölünür.
- Parça sayısı:
$
120 \div 6 = 20
$
- Düzgün Çokgenin Kenar Sayısı
- Elde edilen her parça bir kenar olarak düşünülür.
- Bu nedenle yeni oluşan düzgün çokgenin kenar sayısı 20’dir (20-gen / icosagon).
- Düzgün Çokgende Dış Açı Hesabı
- Bir düzgün n-genin (n kenarlı çokgenin) toplam dış açıları her zaman 360°’dir.
- Dolayısıyla, her bir dış açı şu formülle bulunur:
$
\text{Her bir dış açı} = \frac{360^\circ}{n}
$ - Burada n = 20 olduğundan,
$
\frac{360^\circ}{20} = 18^\circ
$.
- Küçük Açının Tespiti
- Aranan “küçük açı” genellikle dış açı olarak adlandırılır.
- Bu nedenle küçük açımız 18°’dir.
- Soru seçeneklerinde de 18° (A) olarak verildiğinden, cevap A) 18° olacaktır.
- Kontrol ve Mantık
- Bir düzgün 20-genin iç açısı:
$
\text{İç açı} = \frac{(n-2)\times180^\circ}{n} = \frac{(20-2)\times180^\circ}{20} = \frac{18\times180^\circ}{20} = 162^\circ
$ - İç açı 162° ise dış açının 180° - 162° = 18° olduğunu tekrar teyit edebiliriz.
Hesaplamaların Özet Tablosu
| İşlem Adımı | Açıklama |
|---|---|
| Tahta Uzunluğu | 120 cm |
| Parça Uzunluğu | 6 cm |
| Parça (Kenar) Sayısı | 20 |
| Düzgün Çokgenin Dış Açısı Formülü | 360° / 20 |
| Bulunan Dış Açı | 18° |
3. Özet ve Sonuç
Bir usta, 120 cm’lik tahta parçasını 6 cm’lik 20 eş parçaya bölerek bunları düzgün çokgen biçiminde bir çerçeve oluşturacak şekilde birleştirmiştir. Düzgün 20-genin dış açısı, 360° ÷ 20 = 18° olduğundan parçaların arasındaki küçük açının ölçüsü 18 derecedir.
Kısacası, doğru yanıt A) 18° olarak bulunmuştur.