Gerçek Sayılarda f(x) = 3 - |x - 1| Fonksiyonu
Önemli Noktalar
- Fonksiyon mutlak değer içerir: f(x) = 3 - |x - 1|
- Grafik, mutlak değer fonksiyonunun tipik “V” şeklinin ters çevrilmiş halidir
- Fonksiyonun tanımlı olduğu tüm gerçek sayılarda f(x) değeri 3 ve daha küçük değerler alır
- Maksimum değer f(1) = 3 olup, burada mutlak değer sıfırdır
Fonksiyonun grafik çizimi için önce mutlak değer ifadesini analiz edin: |x-1| fonksiyonu 1 noktasında sıfırdır ve orada minumum yapar. f(x) fonksiyonunda bu ifade 3’ten çıkarıldığı için en büyük değer 3 olur ve x=1 noktasında fonksiyonun tepe noktası vardır.
İçindekiler
1. Fonksiyonun Grafiği
Grafiği çizmek için şu adımları izleyin:
- Önemli nokta: x=1 → f(1) = 3 - |1 - 1| = 3 (Tepe noktası)
- x ekseninde diğer noktalara göre f(x) değeri azalır çünkü |x-1| arttıkça fonksiyon değeri küçülür
- Fonksiyon x=1 'de tepe yapar ve oradan sola ve sağa doğru doğrusal azalan parçalar halinde simetrik olarak devam eder
Örnek değerler:
| x | f(x) |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 0 | 3 - |
| 2 | 3 - |
| -1 | 3 - |
| 3 | 3 - |
Bu noktaları birleştirerek, tepe noktası (1, 3) olan ters V formunu çizebilirsiniz.
Pro Tip: Mutlak değer fonksiyonları genellikle “V” şeklindedir. Bu fonksiyonda ise 3’ten mutlak değer çıkarıldığı için grafik ters V şeklinde üstte olur.
2. Fonksiyonun Nitel Özellikleri
- Tanım Kümesi: Tüm gerçek sayılar, yani \mathbb{R}
- Görüntü Kümesi: (-\infty, 3] olarak sınırlıdır (maksimum 3)
- Süreklilik: Sürekli ve her noktada tanımlıdır
- Teklik ve Çiftlik: Fonksiyon ne çift ne tektir çünkü f(-x) \neq f(x) ve f(-x) \neq -f(x)
- Azalan ve Artan Aralıklar:
- (-\infty, 1] aralığında fonksiyon artandır
- [1, +\infty) aralığında fonksiyon azalandır
- Tepe Noktası: (1, 3) en büyük değer noktasıdır
Uyarı: Mutlak değer fonksiyonlarında mutlak değerin sıfır olduğu nokta önemli kritik noktadır; burada fonksiyon maksimum veya minimum değer alabilir.
Özet Tablo
| Özellik | Detay |
|---|---|
| Fonksiyon | ( f(x) = 3 - |
| Tanım Kümesi | \mathbb{R} (tüm gerçek sayılar) |
| Görüntü Kümesi | (-\infty, 3] |
| Süreklilik | Sürekli, tüm \mathbb{R} için |
| Maksimum Noktası | x=1 , f(1) = 3 |
| Artan Aralık | (-\infty, 1] |
| Azalan Aralık | [1, +\infty) |
| Teklik-Çiftlik | Ne tek ne çift |
Sık Sorulan Sorular
1. Bu fonksiyonun grafiği nasıl görünür?
Tepesi (1,3) noktasında olan ters bir V şeklindedir. Mutlak değerin artmasıyla fonksiyonun değeri azalır.
2. Fonksiyon neden ne tek ne çift?
Çünkü simetri eksenine göre eşitlik sağlamaz; f(-x) \neq f(x) ve f(-x) \neq -f(x) .
3. Fonksiyonun azalan ve artan aralıkları nasıl belirlenir?
Mutlak değerin içindeki ifadeye göre kritik nokta x=1 olarak belirlenir; buna göre fonksiyon 1’e kadar artar, sonrasında azalır.
Sonraki Adımlar
Fonksiyonun türev ve integralini incelemek ister misiniz? Ya da mutlak değer fonksiyonlarının geneli üzerinde örneklerle daha derinlemesine çalışalım mı?
Resimli Soru 24-01-2026 21:22:22
Önemli Noktalar
- $$f(x)=3 - \bigl|,3 - |x - 1|,\bigr|$$ fonksiyonu üç parçalı doğrusal ifadeye sahiptir.
- Grafik köşe noktaları $$(-2,3),,(1,0),,(4,3)$$ üzerinden V-şekli bir yapı oluşturur.
- Tanım kümesi $$\mathbb{R}$$, değer kümesi $$(-\infty,3]$$, süreklidir; türevlenmez noktalar $$x=-2,1,4$$.
Doğrudan Cevap (Snippet)
$$f(x)=3 - \bigl|,3 - |x - 1|,\bigr|$$ fonksiyonu,
aralıklarında üç parçalı doğrusal ifadelere bölünür ve grafik köşe noktaları (-2,3),(1,0),(4,3) üzerinden V-şekli bir yapı oluşturur.
İçindekiler
1. Grafik Çizimi
Fonksiyonu önce parçalara ayıralım:
- Noktalar: (-2,3), (1,0), (4,3).
- x<-2 bölgesinde y=x+5 (artan doğru),
- -2\le x\le4 bölgesinde y=|x-1| (V-şekli),
- x>4 bölgesinde y=7-x (azalan doğru).
2. Nitel Özellikler
- Tanım kümesi: $$\mathbb{R}$$
- Değer kümesi: $$(-\infty,3]$$
- Süreklilik: Her yerde süreklidir
- Türevlenebilirlik: x=-2,1,4 noktalarında köşe olduğu için türevlenmez
- Parite: Ne çift ne tek (ancak x=1 etrafında simetri)
- Periyodiklik: Periyodik değildir
- Monotonluk:
- (-\infty,-2) aralığında artan
- [-2,1] aralığında azalan
- [1,4] aralığında artan
- (4,\infty) aralığında azalan
- Ekstremumlar:
- Yerel maksimumlar: $x=-2,4$’te f=3
- Yerel minimum: $x=1$’de f=0
- Sınırlılık: Üstten sınırlı (\max=3), alttan sınırsız
3. Parçalı İnceleme Tablosu
| Bölge | İfade | Monotonluk | Köşe/Türevlenmez |
|---|---|---|---|
| x< -2 | x+5 | Artan | Yok |
| -2\le x\le4 | $ | x-1 | $ |
| x>4 | 7 - x | Azalan | Yok |
4. Özet Tablo
| Özellik | Sonuç |
|---|---|
| Tanım Kümesi | \mathbb{R} |
| Değer Kümesi | (-\infty,3] |
| Süreklilik | Her yerde |
| Türevlenmez Noktalar | x=-2,1,4 |
| Monotonluk | Artan/Azalan aralıkları yukarıda |
| Ekstremum | max 3 (x=-2,4), min 0 (x=1) |
5. SSS
S1. Fonksiyonun tanım kümesi ve değer kümesi nedir?
S2. Hangi noktalarda türevlenmez?
S3. Grafikte simetri ekseni var mıdır?
S4. Fonksiyonun maksimum değeri kaçtır ve nerede?
Grafiğinizi kağıt üzerinde çizerek bu bölümleri işaretlemek ister misiniz?
@Fatma75