gerçek sayılar nelerdir
Gerçek (Reel) Sayılar Kümesi ve Özellikleri
Gerçek (reel) sayılar (\mathbb{R}); sayı doğrusu üzerindeki tüm noktaları dolduran, rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin birleşimiyle oluşan en kapsamlı temel sayı kümesidir. Gerçek sayılar kümesi “Reel Sayılar” olarak da adlandırılır ve \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} şeklinde ifade edilir.
1. Rasyonel Sayılar (\mathbb{Q}):
- Tanım: a ve b birer tam sayı ve b \neq 0 olmak üzere \frac{a}{b} biçiminde yazılabilen tüm sayılardır.
- Doğal Sayılar (\mathbb{N}): 0, 1, 2, 3, \dots biçimindeki sayma ve başlangıç kümesidir.
- Tam Sayılar (\mathbb{Z}): Negatif sayıları, sıfırı ve pozitif tam sayıları kapsar (\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots).
- Kesirli ve Ondalıklı Sayılar: Sonlu veya devirli ondalık basamaklara sahip değerlerdir (\frac{3}{4}, -2{,}5, 0{,}\overline{3}).
2. İrrasyonel Sayılar (\mathbb{I} veya \mathbb{Q}'):
- Tanım: İki tam sayının oranı (\frac{a}{b}) olarak ifade edilemeyen, virgülden sonraki kısmı devretmeden sonsuza uzanan sayılardır.
- Kök Dışına Çıkamayan Sayılar: Tam kare olmayan köklü ifadelerdir (\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}).
- Matematiksel Sabitler: Geometrik ve analizsel bağıntılardan gelen özel sayılardır (\pi \approx 3{,}14159\dots, e \approx 2{,}71828\dots).
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Çift dereceli bir kökün içerisi negatif olduğunda (örneğin \sqrt{-4}) bu ifade gerçek sayılar kümesinde tanımlı değildir; bu tip sayılar karmaşık (kompleks) sayılar (\mathbb{C}) kümesine aittir. Sayı doğrusundaki her nokta istisnasız bir gerçek sayıya karşılık gelir.