Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları için aşağıdaki dik koordinat düzleminde g ve f + g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
Buna göre f(g(f(f(111)))) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 23
B) 25
C) 28
D) 30
E) 33
Doğrusal ve Sabit Fonksiyon Grafikleri ile Bileşke Fonksiyon Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İki fonksiyonun toplamı (f + g)(x) = f(x) + g(x) şeklinde ifade edilir. x eksenine paralel olan doğrular g(x) = c biçiminde birer sabit fonksiyon belirtir ve her x gerçek sayısı için aynı çıktı değerini üretir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Fonksiyon Denklemlerinin Elde Edilmesi
Grafikte g fonksiyonu y = -3 doğrusu üzerinde olduğundan her x değeri için sabit fonksiyondur:
g(x) = -3
f + g doğrusal fonksiyonu ise (0, 5) ve (1, 0) noktalarından geçmektedir. Eğim formülü m = \frac{0 - 5}{1 - 0} = -5 olup doğru denklemi:
(f + g)(x) = -5x + 5
Buradan f(x) kuralını elde ederiz:
f(x) + g(x) = -5x + 5 \implies f(x) + (-3) = -5x + 5 \implies f(x) = -5x + 8
Adım 2 — Sabit Fonksiyon Özelliği ile İfadenin Sadeleştirilmesi
Bizden istenen ifade f(g(f(f(111)))) şeklindedir. g(x) sabit bir fonksiyon olduğu için parantez içindeki f(f(111)) değeri ne olursa olsun daima -3 sonucunu verir:
g(f(f(111))) = -3
Adım 3 — Sonucun Hesaplanması
Bileşke ifadesi f(-3) değerine indirgenir. f(x) = -5x + 8 kuralında x = -3 yazarsak:
f(-3) = -5(-3) + 8 = 15 + 8 = 23
CEVAP: A) 23 (f(g(f(f(111)))) = 23)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Büyük sayıların (111 gibi) yer aldığı bileşke fonksiyon sorularında genellikle bir sabit fonksiyon veya periyodiklik gizlidir. g fonksiyonunun sabit olduğunu fark ettiğinizde içteki karmaşık işlemleri hesaplamadan doğrudan sonuca ulaşabilirsiniz.