Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir
f fonksiyonu,
i(x)-;
3x- (m+2)
(m-4)x +m-3
olarak tanımlanıyor.
A) 10
Buna göre f(m) değeri kaç olabilir?
B) 8
C)6
D) 4
E) 2
Gerçek Sayılar Kümesinde Tanımlı f(x) Fonksiyonunda f(m) Değerinin Bulunması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir rasyonel fonksiyonun f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} tüm gerçek sayılar kümesinde (\mathbb{R}) tanımlı olabilmesi için paydanın hiçbir x \in \mathbb{R} değeri için sıfıra eşit olmaması (Q(x) \neq 0) gerekir.
Birinci dereceden Q(x) = ax + b ifadesinin gerçel kökünün bulunmaması için x’in katsayısı a = 0 ve sabit terim b \neq 0 olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Paydanın Sıfır Olma Durumunu İnceleme
Verilen fonksiyon:
f(x) = \frac{3x - (m+2)}{(m-4)x + m - 3}
Fonksiyonun paydası:
Q(x) = (m-4)x + m - 3
Eğer m - 4 \neq 0 olursa, payda x = \frac{3-m}{m-4} gerçek sayı değerinde 0 olur ve fonksiyon bu noktada tanımsız hale gelir.
Adım 2 — m Değerini Bulma
Fonksiyonun tüm gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için x’e bağlı terimin katsayısı sıfır olmalıdır:
m - 4 = 0 \implies m = 4
m = 4 için paydanın sabit terimi:
m - 3 = 4 - 3 = 1 \neq 0
Böylece payda her x değeri için daima 1’e eşit olur ve tanımsızlık oluşmaz.
Adım 3 — Fonksiyon Kuralını Yazma
m = 4 değerini fonksiyonda yerine yazalım:
f(x) = \frac{3x - (4+2)}{(4-4)x + 4 - 3}
f(x) = \frac{3x - 6}{1} = 3x - 6
Adım 4 — f(m) Değerini Hesaplama
m = 4 olduğuna göre bizden istenen değer f(4)'tür:
f(4) = 3(4) - 6
f(4) = 12 - 6 = 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı (6)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Rasyonel Fonksiyonlarda Tanım Kümesi
- Tanım: Kesirli ifadelerde paydayı sıfır yapan x değerleri tanım kümesinden çıkarılır.
- Bu problemde: Fonksiyonun \mathbb{R}'de tanımlı olması istendiği için paydayı x’e bağımlı olmaktan çıkarıp sıfırdan farklı bir sabite dönüştürdük.
SIK YAPILAN HATALAR:
Payı Sıfırlamaya Çalışmak
- Yanlış: 3x - (m+2) = 0 denklemini çözmeye çalışmak.
- Doğru: Tanım kümesini etkileyen kısım kesrin payı değil, paydasıdır.
- Neden yanlış: Payın sıfır olması fonksiyonu tanımsız yapmaz, sadece fonksiyonun değerini sıfır yapar.
Bu soru tipinde fonksiyonun “sabit fonksiyon” olması durumu ile ilgili bir soru çözmemi ister misin?