Gerçek katsayılı ve baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden bir P(x) polinomu veriliyor. m ve n pozitif tam sayılar olmak üzere
P(x) - m
polinomunun yalnızca bir gerçek kökü vardır.
P(x) - m - 9
polinomunun kökleri n ve n + 6’dır.
P(0) = 21
olduğuna göre m + n toplamı kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
İkinci Dereceden Polinomlarda Çift Katlı Kök ve Tepe Noktası Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden bir ifadenin yalnızca bir gerçek kökünün olması (\Delta = 0), ifadenin (x - r)^2 şeklinde bir tam kare olduğunu ve tepe noktasının bu kökte bulunduğunu gösterir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — P(x) Polinomunun Genel Denklemini Kurma
P(x) - m polinomunun yalnızca bir gerçek kökü olduğuna göre bu ifade bir tam karedir. Kökü r olarak tanımlarsak:
P(x) - m = (x - r)^2 \implies P(x) = (x - r)^2 + m
Adım 2 — İkinci Polinomun Köklerinden r ve n İlişkisini Bulma
P(x) - m - 9 ifadesinde P(x) - m yerine (x - r)^2 yazalım:
(x - r)^2 - 9 = 0 \implies (x - r - 3)(x - r + 3) = 0
Bu denklemin kökleri küçükten büyüğe x_1 = r - 3 ve x_2 = r + 3 olur. Soruda verilen kökler n ve n + 6 olduğuna göre:
r - 3 = n \implies r = n + 3
Adım 3 — P(0) = 21 Bilgisi ile m ve n Değerlerini Belirleme
P(x) = (x - r)^2 + m denkleminde x = 0 yazarak P(0) değerini eşitleyelim:
P(0) = (0 - r)^2 + m = r^2 + m = 21
r = n + 3 eşitliğini yerine koyduğumuzda:
(n + 3)^2 + m = 21
m ve n pozitif tam sayılar (n \ge 1) olduğundan:
- n = 1 için: (1 + 3)^2 + m = 16 + m = 21 \implies m = 5 (pozitif tam sayı, şartı sağlar).
- n \ge 2 için: (n + 3)^2 \ge 25 > 21 olacağından m negatif çıkar ve şartı sağlamaz.
Buradan m = 5 ve n = 1 bulunur:
m + n = 5 + 1 = 6
CEVAP: B) 6 (m = 5, n = 1 için m + n = 6)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Parabolün simetri ekseninden \pm 3 birim uzaklaşıldığında y değeri 3^2 = 9 birim artar. İki kök arasındaki 6 birimlik farkın ortası simetri ekseni olan tepe noktasını (r = n + 3) doğrudan verir.