Geometrik dizide a₃ + 2a₂ + a₁ = 72 ve a₂ + a₁ = 12 ise a₁ kaçtır?

YKS TYT
1

image
image436×334 18.3 KB

2

Geometrik Dizide a₁ Değerini Bulma

Önemli Noktalar

  • Geometrik dizide terimler birbirini sabit bir oranla çarparak takip eder.
  • Verilen denklemde terimler (a_1, a_2, a_3) sırasıyla ilk üç terimi ifade eder.
  • İki denklemden bilinmeyenleri çözmek için oran (q = \frac{a_2}{a_1}) değişkeni kullanılır.

Geometrik dizide (a_2 = a_1 q) ve (a_3 = a_1 q^2) olduğundan, verilen denklemler (a_1 q^2 + 2 a_1 q + a_1 = 72) ve (a_1 q + a_1 = 12) olarak yazılabilir. Buradan (a_1) değerini bulabiliriz.

İçindekiler

  1. Problem Kurulumu
  2. Adım Adım Çözüm
  3. Özet Tablo
  4. Sık Sorulan Sorular

1. Problem Kurulumu

Geometrik dizide
[
a_3 + 2a_2 + a_1 = 72 \quad \text{ve} \quad a_2 + a_1 = 12
]
Burada,
[
a_2 = a_1 q, \quad a_3 = a_1 q^2
]
olarak yazılır. Bu değişkenlerle denklemler:
[
a_1 q^2 + 2 a_1 q + a_1 = 72 \quad \Rightarrow \quad a_1 (q^2 + 2q + 1) = 72
]
[
a_1 q + a_1 = 12 \quad \Rightarrow \quad a_1 (q + 1) = 12
]

2. Adım Adım Çözüm

  1. İkinci denklemi (a_1) için çözelim:
    [
    a_1 = \frac{12}{q+1}
    ]

  2. Birinci denklemde yerine koyarsak:
    [
    \frac{12}{q+1} \times (q^2 + 2q + 1) = 72
    ]
    [
    12 \frac{(q+1)^2}{q+1} = 72 \quad \Rightarrow \quad 12 (q+1) = 72
    ]
    (Burada (q^2 + 2q + 1 = (q+1)^2))

  3. Denklemden:
    [
    12(q + 1) = 72 \Rightarrow q + 1 = 6 \Rightarrow q = 5
    ]

  4. (a_1) değerini bulalım:
    [
    a_1 = \frac{12}{q+1} = \frac{12}{5+1} = \frac{12}{6} = 2
    ]

Cevap: A) 2

:light_bulb: Pro Tip: Geometrik dizide terimler (a_1 q^n) formundadır. İlk terimi bulmak için ortadaki terim ve oran genellikle anahtardır.

3. Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Denklemler (a_3 + 2a_2 + a_1=72), (a_2 + a_1=12) Verilen
Terim yazımı (a_2 = a_1 q), (a_3= a_1 q^2) Tanım
İkinci denklem çözümü (a_1 = \frac{12}{q+1}) Bulundu
Birinci denklem düzenleme (12 \times (q+1) = 72) Eşitlik
Oran değeri (q=5) Çözüldü
İlk terim (a_1=2) Sonuç

4. Sık Sorulan Sorular

1. Geometrik dizi ile aritmetik dizi arasındaki fark nedir?
Geometrik dizide terimler birbirinin sabit oranıyla çarpılırken, aritmetik dizide terimler sabit farkla toplanır.

2. Oran (q) negatif olabilir mi?
Evet, geometrik dizide (q) negatif olabilir ama bu durumda terimler işaret değiştirir.

3. İlk terim negatif çıkabilir mi?
Evet, verilen denklemlere göre (a_1) negatif olabilir. Problemin bağlamına göre kontrol edilir.

4. Bu metot tüm geometrik dizi problemlerinde işe yarar mı?
Evet, bilinmeyenleri terim olarak değil de (a_1) ve (q) ile ifade etmek genellikle çözüme ulaşmayı kolaylaştırır.

5. Eğer (a_1) yerine direkt verilen terimler üzerinden çözmek istersek?
Denklik sistemi karmaşık olabilir; genelde oran kullanmak daha pratiktir.

Sonraki Adımlar

Bu problemde oran kavramı kullanıldı. İsterseniz, geometrik dizilerin toplam formülleri ve uygulamalı örneklerle daha ileri seviye farklı soru tiplerini inceleyebiliriz. İster misiniz?

@Abdurrahman2134

3

Geometrik dizide a₃ + 2a₂ + a₁ = 72 ve a₂ + a₁ = 12 ise a₁ kaçtır?

• Anahtar Noktalar
– Geometrik dizide genel terim formülü a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}.
– Verilenler: a_2 + a_1 =12 \;\Rightarrow\; a_1(r+1)=12 ve a_3+2a_2+a_1=72 \;\Rightarrow\; a_1(r+1)^2=72.
– Bu sistemden r+1=6\;(r=5) ve a_1=2 bulunur.

Yanıt: Geometrik dizide a_1 = 2.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablosu
  3. Sıkça Sorulan Sorular

Çözüm Adımları

  1. Terimleri a_1=a,\;a_2=ar,\;a_3=ar^2 şeklinde ifade edelim.
  2. a_2 + a_1 =12 ⇒ a(r+1)=12\quad\;(1)
  3. a_3+2a_2+a_1=72 ⇒ a(r^2+2r+1)=72\;\Rightarrow\;a(r+1)^2=72\quad\;(2)
  4. (2)/(1):
    $$\frac{a(r+1)^2}{a(r+1)}=\frac{72}{12};\Rightarrow;r+1=6;\Rightarrow;r=5.$$
  5. (1)’den:
    $$a=\frac{12}{r+1}=\frac{12}{6}=2.$$
    Dolayısıyla a_1=2.

Karşılaştırma Tablosu

Özellik Aritmetik Dizi Geometrik Dizi
Genel Terim a_n = a_1 + (n-1)d a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}
Ortak Değişim Sabit fark (d) Sabit oran (r)
Büyüme Doğrusal Üssel
Örnek 2, 5, 8, 11,… 2, 10, 50, 250,…

Özet Tablosu

Verilen Denklik Denklem Sonuç
a_2 + a_1 = 12 a_1(r+1)=12 –
a_3 + 2a_2 + a_1 = 72 a_1(r+1)^2=72 –
Çözüm – r+1=6,\;r=5,\;a_1=2

Sıkça Sorulan Sorular

  1. Geometrik dizide ortak oran nedir?
    Ardışık terimler arasındaki sabit çarpandır. Genel formül: a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}.
  2. Geometrik dizide terim nasıl bulunur?
    Bilinen a_1 ve r değerleriyle a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1} formülü uygulanır.
  3. Bu tip sorularda denklem sistemi nasıl kurulur?
    Verilen terim toplamları terim ifadeleriyle yazılır, eşitlikler kurulur ve çözülür.

Bu konuyla ilgili 3 adet uygulama sorusu ister misiniz?
@Abdurrahman2134