Garson Erhan, x°+x+ 2x- 10 hdet zeytini her birine
eşit adet olacak biçimde (x +*) tane tabağa dağıttiğında
8 tane zeytin artiyor.
Buna göre, kullanılan tabak sayisı kaçtır?
A) 58
X+xtane tabak
B) 110
C) 156
D) 132
E) 90
Soru Fotoğrafı:
Garson Erhan’ın zeytinleri ve tabak sayısı problemi
Problemde verilenler:
- Toplam zeytin sayısı: x^3 + x^2 + 2x - 10
- Tabak sayısı: x^2 + x
- Her tabağa eşit sayıda zeytin dağıtıldığında 8 tane zeytin artıyor.
Amaç: Kullanılan tabak sayısını bulmak (yani x^2 + x değerini).
Çözüm adımları:
Adım 1 — Zeytinlerin tam bölünmediği durumu yazalım
Toplam zeytin sayısı x^3 + x^2 + 2x - 10, tabak sayısı ise x^2 + x.
Her tabağa eşit sayıda zeytin dağıtıldığında 8 zeytin artıyor. Yani;
\text{Kalan} = 8
Buna göre,
\text{Toplam Zeytin} = (\text{Tabak sayısı}) \times (\text{Bir tabaktaki zeytin sayısı}) + 8
Denklemi yazalım:
x^3 + x^2 + 2x - 10 = (x^2 + x) \times k + 8
Burada k (bir tabaktaki eşit zeytin sayısı) bir tam sayıdır.
Adım 2 — Denklemi düzenleyelim
Her tabaktaki zeytin sayısını bulmak için çıkaralım:
x^3 + x^2 + 2x - 10 - 8 = (x^2 + x) \times k
x^3 + x^2 + 2x - 18 = (x^2 + x) \times k
Yani;
x^3 + x^2 + 2x - 18 \quad \text{sayısı,} \quad x^2 + x \quad \text{sayısına tam bölünmelidir.}
Adım 3 — Tam bölünebilirliği kontrol etme
Şimdi x^2 + x sayısı ile x^3 + x^2 + 2x - 18 sayısını karşılaştıralım.
Bu amaçla x^2 + x ile x^3 + x^2 + 2x - 18’in tam bölünebilir olması durumunda kalanın 0 olduğunu arıyoruz.
Adım 4 — Bölme işlemi yapalım
Bölme işlemini yapalım:
\frac{x^3 + x^2 + 2x - 18}{x^2 + x}
Bölümü tahmin edelim:
- İlk terimden: \frac{x^3}{x^2} = x,
- x \times (x^2 + x) = x^3 + x^2,
- Çıkarma: (x^3 + x^2 + 2x - 18) - (x^3 + x^2) = 2x - 18.
Kalan = 2x - 18.
Bu kalan sıfır olmalıdır ki tam bölünsün. Yani:
2x - 18 = 0 \implies x = 9
Adım 5 — Tabak sayısını bulalım
Tabak sayısı:
x^2 + x = 9^2 + 9 = 81 + 9 = 90
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: 90 (Seçenek E)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
- Bölme işlemi: Bölünenin, bölenle tam bölünebilmesi için kalanın sıfır olması gerekir.
- Polinom bölmesi: İki polinomun bölünmesi ve kalanın bulunması.
Yaygın Hatalar:
Kalanı yok saymak
- Yanlış: Bölümden sonra kalan kısmı ihmal etmek.
- Doğru: Kalanın sıfır olması şarttır.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Garson Erhan, x^3 + x^2 + 2x - 10 adet zeytini her birine eşit adet olacak biçimde (x^2 + x) tane tabağa dağıttığında 8 tane zeytin artıyor. Buna göre, kullanılan tabak sayısı kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Bölme-kalan kuralı: Bir sayının başka bir sayıya bölünmesinde kalan r ise, orijinal sayıdan r çıkarıldığında bölenle tam bölünür.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Bölünebilirlik şartını yaz
x^3 + x^2 + 2x - 10 \equiv 8 \pmod{x^2 + x}
x^3 + x^2 + 2x - 18 \equiv 0 \pmod{x^2 + x}
Adım 2 — Polinom bölmesi yap (kalanın 0 olması şartı)
Bölünecek ifade:
\frac{x^3 + x^2 + 2x - 18}{x^2 + x}
Birinci terim:
(x^2 + x)\cdot x = x^3 + x^2
Remainder hesapla:
(x^3 + x^2 + 2x - 18) - (x^3 + x^2) = 2x - 18
Kalanın sıfır olması şartı:
2x - 18 = 0
2x = 18
x = 9
Adım 3 — Tabak sayısını bul
x^2 + x
= 9^2 + 9
= 81 + 9
= 90
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 90 (E şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Bölme-kalan
- Tanım: Bir a sayısı b ile bölündüğünde kalan r ise a = b·q + r olur.
- Bu problemde: Kalan 8 olduğundan x^3 + x^2 + 2x - 18 ifadesi x^2 + x ile tam bölünmelidir.
- Polinom bölmesi
- Tanım: Polinomların birbirine bölünmesiyle bölüm ve kalan bulunur.
- Bu problemde: Bölme sonucu kalan 2x-18 olup sıfıra eşitlenerek x bulundu.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kalanı doğrudan tabak sayısı sanmak
- Yanlış: Kalan 8 ise tabak sayısını 8 almak.
- Doğru: Kalan, toplam zeytin sayısının tabak sayısına bölümünden kalanıdır; tablo sayısı polinom ifadedir.
- Neden yanlış: Kalan ile bölen karıştırılıyor.
- Düzeltme: Kalanı çıkarıp kalan olmadan bölünebilirliği sağlayan x bulunmalı.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!