Gamze’nin odasındaki dikdörtgen biçiminde özdeş 2 büyük ve kare biçiminde özdeş 2 küçük bölmeden oluşan penceresinin görünümü Şekil 1’de verilmiştir. Bu pencerenin bir büyük bölmesinin alanı, bir küçük bölmesinin alanının 3 katına eşit; bir büyük bölmesinin çevresi ise bir küçük bölmesinin çevresinden 120 cm fazladır.
Gamze büyük bölmelerdeki panjurların bir kısmını uzunlukları cm türünden Şekil 2’de verildiği gibi kapattığına göre pencerenin açık kalan kısmının alanı kaç cm^2 dir?
A) 3000
B) 3200
C) 3600
D) 4000
E) 4200
Dikdörtgen ve Kare Alanı ile Çevre Bağıntıları
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Dikdörtgenin alanı A = a \cdot b, çevresi Ç = 2(a + b); bir kenarı a olan karenin alanı A = a^2, çevresi Ç = 4a bağıntısıyla hesaplanır. Açık kalan alan, toplam pencere alanından panjurlarla kapatılan alanlar çıkarılarak bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Bölmelerin Boyutlarının Belirlenmesi
Şekil 1’deki pencere sütunları ortak bir genişliğe sahiptir. Kare biçimindeki küçük bölmelerin bir kenar uzunluğuna x diyelim. Dikdörtgen biçimindeki büyük bölmelerin genişliği de x, yüksekliği ise h olur.
- Küçük bölmenin alanı: A_{\text{küçük}} = x^2
- Büyük bölmenin alanı: A_{\text{büyük}} = x \cdot h = 3x^2 \implies h = 3x
Adım 2 — Çevre Farkından Kenar Uzunluğunun Bulunması
Büyük ve küçük bölmelerin çevreleri hesaplanıp verilen 120 cm’lik farka eşitlenir:
Ç_{\text{büyük}} = 2(x + h) = 2(x + 3x) = 8x
Ç_{\text{küçük}} = 4x
Ç_{\text{büyük}} - Ç_{\text{küçük}} = 8x - 4x = 4x = 120 \implies x = 30\text{ cm}
Bu durumda karelerin kenarı 30\text{ cm}, büyük bölmelerin boyu ise h = 3 \times 30 = 90\text{ cm} bulunur.
Adım 3 — Açık Kalan Alanın Hesaplanması
Pencerenin tamamının alanı ile panjurların kapattığı alanlar hesaplanır:
- Toplam Pencere Alanı:2 \times (30 \times 90) + 2 \times (30 \times 30) = 5400 + 1800 = 7200\text{ cm}^2
- Kapatılan Alanlar:
Sol panjur 30\text{ cm}, sağ panjur 70\text{ cm} aşağı indirilmiştir (genişlikleri 30\text{ cm}'dir).A_{\text{kapalı}} = (30 \times 30) + (30 \times 70) = 900 + 2100 = 3000\text{ cm}^2 - Açık Kalan Alan:A_{\text{açık}} = 7200 - 3000 = 4200\text{ cm}^2
CEVAP: E) 4200 (A_{\text{açık}} = 4200\text{ cm}^2)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Kalan açık alanları tek tek toplamak yerine, toplam alandan kapatılan dikdörtgenlerin alanlarını çıkarmak işlem hatası riskini azaltır ve zaman kazandırır.