G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezi,
[AB] \perp [BC]
[AE] \perp [BG]
|BG| = 6 cm olduğuna göre, |GE| kaç cm dir?
A) 6\sqrt{2}
B) 5\sqrt{2}
C) 4\sqrt{2}
D) 3\sqrt{2}
E) 2\sqrt{2}
Dik Üçgende Ağırlık Merkezi ve Öklid Bağıntısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Ağırlık Merkezi Kuralı: Ağırlık merkezi (G), kenarortayı köşeye 2 birim, kenara 1 birim oranında böler:\frac{|AG|}{|GE|} = \frac{2}{1} \implies |AG| = 2|GE|
- Öklid Teoremi (Yükseklik Bağıntısı): Bir dik üçgende dik açıdan hipotenüse indirilen dikmenin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir:h^2 = p \cdot k
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kenarortay Özelliğini Belirleme
G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezi olduğundan, A köşesinden çıkıp G’den geçen [AE] doğrusu bir kenarortaydır. Ağırlık merkezinin kenarortayı 2:1 oranında bölme kuralına göre:
|GE| = x \implies |AG| = 2x
Adım 2 — Dik Üçgende Öklid Bağıntısını Uygulama
[AB] \perp [BC] olduğundan ABE üçgeni B köşesinde dik açıya sahip bir dik üçgendir (m(\widehat{ABE}) = 90^\circ).
[BG] \perp [AE] olarak verildiği için, B dik köşesinden hipotenüse indirilen yükseklik [BG] olur.
ABE dik üçgeninde Öklid yüksekli bağıntısını uygulayalım:
|BG|^2 = |AG| \cdot |GE|
6^2 = 2x \cdot x
36 = 2x^2
x^2 = 18
x = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\text{ cm}
İstenen uzunluk |GE| = x olduğundan:
|GE| = 3\sqrt{2}\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 3\sqrt{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ağırlık Merkezi (G): Üçgenin kenarortaylarının kesim noktasıdır ve kenara 1, köşeye 2 birim uzaklıktadır.
- Öklid Bağıntısı: Yalnızca dik açıdan dikme (yükseklik) indiğinde uygulanabilen metrik bağıntılardır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: G noktasının kenarortay oranını |GE| = 2|AG| şeklinde ters almak.- Doğru Yaklaşım: Köşeye olan uzaklık her zaman kenara olan uzaklığın iki katıdır (|AG| = 2|GE|).
Ağırlık merkezi ve dik üçgen bağıntılarını pekiştirmek için benzer bir geometri sorusu çözmek ister misin?