G ağırlıklı piston şekildeki gibi dengede olup bileşik kapların kesit alanları S ve 3S 'dir. Piston üzerine bir cisim konulduğunda piston h kadar aşağı indiğine göre cismin ağırlığı kaç G’dir?
A) \frac{1}{2}
B) \frac{2}{3}
C) 1
D) \frac{4}{3}
E) \frac{3}{2}
Bileşik Kaplarda Sıvı Basıncı ve Piston Dengesi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Sıvıların sıkıştırılamazlığı ilkesine göre bir koldan itilen sıvı hacmi (\Delta V = S \cdot \Delta h) diğer kolda yükselen sıvı hacmine eşittir. Denge durumunda aynı yatay hizadaki taban basınçları eşit olup pistonun uyguladığı katı basıncı ile sıvı sütununun hidrostatik basıncı dengelenir:
\Delta P = \frac{G_{\text{cisim}}}{S} = \Delta h_{\text{toplam}} \cdot d \cdot g
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — İlk Denge Durumunun Analizi
Kesit alanı S olan koldaki G ağırlıklı piston, kesit alanı 3S olan koldaki h yüksekliğindeki d özkütleli sıvı sütunu ile dengededir.
\frac{G}{S} = h \cdot d \cdot g \implies h \cdot d \cdot g = \frac{G}{S}
Adım 2 — Sıvı Seviyelerindeki Değişimin Hesaplanması
Pistonun üzerine G_x ağırlıklı bir cisim konulduğunda piston h kadar aşağı iner. Sol kolda ötelenen sıvı hacmi:
\Delta V = S \cdot h
Bu hacim, kesit alanı 3S olan sağ kola geçerek sıvıyı h_2 kadar yükseltir:
h_2 = \frac{\Delta V}{3S} = \frac{S \cdot h}{3S} = \frac{h}{3}
Adım 3 — Cismin Ağırlığının (G_x) Bulunması
Piston h kadar alçalırken sağ koldaki sıvı \frac{h}{3} kadar yükseldiğinden, kollar arasındaki toplam sıvı seviyesi farkı \Delta h_{\text{toplam}} = h + \frac{h}{3} = \frac{4}{3}h kadar artar. Bu seviye artışını sağlayan ek basınç cismin ağırlığından kaynaklanır:
\frac{G_x}{S} = \Delta h_{\text{toplam}} \cdot d \cdot g = \frac{4}{3} h \cdot d \cdot g
İlk adımdaki h \cdot d \cdot g = \frac{G}{S} eşitliği yerine yazıldığında:
\frac{G_x}{S} = \frac{4}{3} \cdot \frac{G}{S} \implies G_x = \frac{4}{3}G
CEVAP: D) \frac{4}{3} (G_{\text{cisim}} = \frac{4}{3}G)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Sıvı seviye farkı hesaplanırken sadece pistonun indiği miktar (h) değil, diğer kolda kesit alanına bağlı olarak yükselen sıvı miktarı (h/3) da eklenerek toplam seviye değişimi (h + h/3 = 4h/3) bulunmalıdır.