Hava sürtünmelerinin önemsenmediği bir ortamda K noktasından serbest bırakılan bir cisim, KL ve LM yollarını, sırasıyla t ve 2t sürede alarak yere çarpıyor.
g=0
h_{KL}
h_{LM}
Yer (yatay)
Buna göre, \frac{h_{KL}}{h_{LM}} oranı kaçtır?
A) \frac{1}{2}
B) \frac{1}{4}
C) \frac{1}{5}
D) \frac{1}{7}
E) \frac{1}{8}
Serbest Düşme ve Yükseklik Oranı Sorusu
KULLANILAN FORMÜL: Serbest düşme yapan bir cismin t sürede aldığı yol h = \frac{1}{2}gt^2 bağıntısı ile hesaplanır. Aynı zamanda ilk hızın sıfır olduğu serbest düşme hareketinde cisimler eşit zaman aralıklarında h, 3h, 5h, 7h... şeklinde oranlarla yol alırlar (Serbest düşme kuralı / Galileo kuralı).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — KL yolunun incelenmesi
Cisim K noktasından ilk hıssız (\vartheta = 0) serbest bırakılıyor. KL yolunu t sürede alıyor.
Buna göre KL yolunun yüksekliği:
h_{KL} = \frac{1}{2}gt^2
Bu değeri h olarak kabul edebiliriz (h_{KL} = h).
Adım 2 — Toplam sürenin ve KM toplam yolunun hesaplanması
Cisim K’den M’ye (yere) toplam t + 2t = 33t sürede varır.
K’den M’ye kadar olan toplam yükseklik (h_{KM}):
h_{KM} = \frac{1}{2}g(3t)^2 = \frac{1}{2}g(9t^2) = 9 \cdot \left(\frac{1}{2}gt^2\right)
Yani toplam yükseklik 9h kadardır.
Adım 3 — LM yolunun bulunması
Toplam yükseklik h_{KM} ile KL arasındaki fark bize LM yolunu verir:
h_{LM} = h_{KM} - h_{KL}
h_{LM} = 9h - h = 8h
Adım 4 — Oranın hesaplanması
Bulduğumuz değerleri oranlayalım:
\frac{h_{KL}}{h_{LM}} = \frac{h}{8h} = \frac{1}{8}
Adım 5 — Seçenek Karşılaştırması
A) \frac{1}{2} — Hatalı hesaplama sonucu elde edilir.
B) \frac{1}{4} — Zaman oranları karıştırıldığında bulunur.
C) \frac{1}{5} — Yanlış işlem adımıdır.
D) \frac{1}{7} — 1, 3, 5, 7 kuralı yanlış aralıkta uygulandığında bulunur.
E) \frac{1}{8} — Doğru sonuçtur.
Adım 6 — Son Doğrulama
Süreler t ve 2t olduğundan, toplam süre $3t$’dir. Serbest düşmede alınan yollar sürelerin kareleriyle orantılıdır: t sürede 1x yol alırken, toplam 3t sürede (3)^2 = 9x yol alır. KL arası 1x, toplam yol 9x ise LM arası 9x - 1x = 8x olur. Oran \frac{1}{8} çıkar. Doğrulama başarılıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) \frac{1}{8}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Serbest Düşme
- Tanım: Hava direncinin önemsenmediği ortamlarda cisimlerin sadece yerçekimi etkisiyle aşağı yönde yaptığı ivmeli hareket.
- Bu problemde: Cismin ilk hızı sıfır alınarak zaman-yol ilişkisi h = \frac{1}{2}gt^2 formülüyle kurulmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
LM yolunu doğrudan 2t sürede aldığı için 2h veya 4h almak
- Yanlış: Sürenin karesi kuralı unutulup doğrusal oran kurmak.
- Doğru: Cisimlerin serbest düşmede hızları ve yolları zamana göre lineer değil, zamanın karesiyle (t^2) değişir. Toplam süre üzerinden gitmek gerekir.
- Neden yanlış: Hız her an arttığı için eşit zaman aralıklarında alınan yollar giderek büyür.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir serbest düşme sorusu çözmemi ister misin?
Serbest Düşme ve Yol-Zaman İlişkisi
KULLANILAN FORMÜL: Serbest düşme yapan bir cismin t sürede aldığı yol h = \frac{1}{2}gt^2 bağıntısı ile hesaplanır. Aynı zamanda ilk hızın sıfır olduğu serbest düşme hareketinde, eşit zaman aralıklarında alınan yollar h, 3h, 5h, 7h... şeklinde tek sayılar oranında artar.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — KL yolunun incelenmesi
Cisim K noktasından serbest bırakılır (\vartheta = 0). KL yolunu t sürede aldığı söylenmiştir.
Serbest düşme formülüne göre t sürede alınan yol:
h_{KL} = \frac{1}{2} g t^2 = h
orantılı olarak 1h kadardır.
Adım 2 — KM toplam yolunun incelenmesi
Cisim K’den M’ye toplam t + 2t = 3t sürede ulaşmaktadır.
Toplam süre 3t olduğuna göre, K’den M’ye kadar alınan toplam yol (h_{KL} + h_{LM}):
h_{toplam} = \frac{1}{2} g (3t)^2 = \frac{1}{2} g (9t^2) = 9h
kadardır.
Adım 3 — LM yolunun hesaplanması
Toplam yoldan KL yolunu çıkararak LM yolunu buluruz:
h_{LM} = h_{toplam} - h_{KL} = 9h - h = 8h
Adım 4 — Oranın hesaplanması
İstenen oran \frac{h_{KL}}{h_{LM}} şu şekildedir:
\frac{h_{KL}}{h_{LM}} = \frac{h}{8h} = \frac{1}{8}
Adım 5 — Seçenek Karşılaştırması
A) \frac{1}{2} — Yanlış.
B) \frac{1}{4} — Yanlış.
C) \frac{1}{5} — Yanlış.
D) \frac{1}{7} — Yanlış.
E) \frac{1}{8} — Doğru. Bulduğumuz sonuçla eşleşmektedir.
Adım 6 — Son Doğrulama
Tek sayı kuralı ($h, 3h, 5h…) ile de kontrol edelim:
-
- zaman aralığı (t sürede): h_{KL} = 1h
- Sonraki zaman aralıkları (2t sürede, yani 3h ve 5h): h_{LM} = 3h + 5h = 8h
- Oran \frac{1}{8} olarak doğrulanır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) \frac{1}{8}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Serbest Düşme
- Tanım: Hava direncinin ihmal edildiği ortamlarda cisimlerin sadece yerçekimi etkisi altında yaptığı düşme hareketi.
- Bu problemde: Cismin ilk hızı sıfır alınarak zaman ile yol arasındaki h \propto t^2 ilişkisi kurulmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Zamanları doğrudan yol gibi oranlamak
- Yanlış: KL yolunu alan süre t, LM yolunu alan süre 2t olduğu için oran \frac{1}{2}'dir demek.
- Doğru: Alınan yollar sürelerin karesiyle doğru orantılıdır (h \propto t^2). Bu nedenle toplam süre hesaba katılmalıdır.
- Neden yanlış: Cisim ivmeli hareket (hızlanan) yaptığı için eşit zaman aralıklarında eşit yollar almaz.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir serbest düşme sorusu çözmemi ister misin?