Kerem 16 tane 2 sayısını yan yana yazarak bu sayıları çarpıyor. Nehir ise 16 tane 2 sayısını yan yana yazarak bu sayıları topluyor. Buna göre, Kerem’in bulduğu sonuç Nehir’in bulduğu sonucun kaç katına eşit olur?
Sorunun Çözümü:
1. Soruyu Anlama
- Kerem, 16 tane “2” sayısını yan yana yazarak bu sayıları çarpıyor.
- Nehir ise 16 tane “2” sayısını yan yana yazarak bu sayıları topluyor.
- Bizden istenen, Kerem’in bulduğu sonucun, Nehir’in bulduğu sonuca oranı.
2. Kerem’in İşlemi: Çarpma
Kerem’in yazdığı sayı: 16 tane 2 sayısı yan yana yazılmış.
Yani sayı:
2222222222222222
Bu sayı çok büyük ve doğrudan hesaplamak zor. Ancak soruda “16 tane 2 sayısını yan yana yazarak bu sayıları çarpıyor” ifadesi, aslında 16 tane 2 sayısını çarpıyor anlamına gelir.
Yani Kerem’in işlemi:
2 \times 2 \times 2 \times \ldots \times 2 \quad (16 \text{ tane})
Bu da:
2^{16}
3. Nehir’in İşlemi: Toplama
Nehir ise 16 tane 2 sayısını yan yana yazarak bu sayıları topluyor.
Yani:
2 + 2 + 2 + \ldots + 2 \quad (16 \text{ tane})
Bu da:
16 \times 2 = 32
4. Sonuçların Oranı
Kerem’in sonucu: 2^{16}
Nehir’in sonucu: 32
Oran:
\frac{2^{16}}{32}
32 sayısını 2 cinsinden yazalım:
32 = 2^5
O halde oran:
\frac{2^{16}}{2^5} = 2^{16-5} = 2^{11} = 2048
5. Sonuç
Kerem’in bulduğu sonuç, Nehir’in bulduğu sonucun 2048 katıdır.
Özet Tablosu
| İşlem Yapan Kişi | İşlem Türü | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|---|
| Kerem | Çarpma | 2^{16} | 65536 |
| Nehir | Toplama | 16 \times 2 | 32 |
| Oran | - | \frac{2^{16}}{32} | 2048 |
Sonuç: Kerem’in sonucu, Nehir’in sonucunun 2048 katıdır.
Soru:
Kerem, 16 tane 2 sayısını yan yana yazarak bu sayıları çarpıyor.
Nehir ise 16 tane 2 sayısını yan yana yazarak bu sayıları topluyor.
Buna göre, Kerem’in bulduğu sonuç Nehir’in bulduğu sonucun kaç katına eşit olur?
İçindekiler
- Problemin Restatement (Soru Analizi)
- Çözüm Adımları
2.1. Kerem’in İşleminin İncelenmesi
2.2. Nehir’in İşleminin İncelenmesi
2.3. Sonuçların Oranının Hesaplanması - Genel Formül ve Ek Açıklamalar
- Özet Tablo
- Sonuç
1. Problemin Restatement (Soru Analizi)
- Kerem, arka arkaya 16 adet “2” yazarak bu “2” sayılarını birbirleriyle çarpıyor.
- Nehir ise aynı şekilde 16 adet “2” yazarak bu “2” sayılarını birbirleriyle topluyor.
- Amaç: Kerem’in sonucu, Nehir’in sonucu’nun kaç katıdır?
Özetle:
- Kerem: 2 × 2 × … (16 kez)
- Nehir: 2 + 2 + … (16 kez)
2. Çözüm Adımları
2.1. Kerem’in İşleminin İncelenmesi
- Kerem 16 tane “2” sayısını yan yana yazarak çarpma işlemi yapıyor.
- Matematiksel ifade:
2 \times 2 \times 2 \times \cdots \times 2
Toplam 16 faktör olarak:
\underbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}_{16 \text{ kez}} - Üstel gösterimle bu, 2^{16} olarak yazılır.
- Hesap:
2^{16} = 65\,536
Sonuç: Kerem’in bulduğu değer = 65 536
2.2. Nehir’in İşleminin İncelenmesi
- Nehir 16 tane “2” sayısını yan yana yazarak toplama işlemi yapıyor.
- Matematiksel ifade:
2 + 2 + 2 + \dots + 2
Toplam 16 terim olarak:
\underbrace{2 + 2 + \dots + 2}_{16 \text{ kez}} - Toplama işlemi sonucu:
16 \times 2 = 32
Sonuç: Nehir’in bulduğu değer = 32
2.3. Sonuçların Oranının Hesaplanması
Aranılan değer, Kerem’in sonucu / Nehir’in sonucu’dur:
\frac{\text{Kerem’in sonucu}}{\text{Nehir’in sonucu}}
= \frac{2^{16}}{16 \times 2}
= \frac{65\,536}{32}
= 2\,048
Ayrıca üstel olarak:
16\times 2 = 2^4 \times 2 = 2^5
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{2^{16}}{2^5} = 2^{11} = 2\,048
Sonuç: Kerem’in bulduğu sonuç, Nehir’in bulduğu sonucun 2 048 katıdır.
3. Genel Formül ve Ek Açıklamalar
Genel olarak n tane “2” sayısını:
- Çarpmak istediğinizde:
\underbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}_{n\ \text{kez}} = 2^n - Toplamak istediğinizde:
\underbrace{2 + 2 + \dots + 2}_{n\ \text{kez}} = 2n
Buna göre oran:
\frac{2^n}{2n} = \frac{2^n}{2\cdot n} = \frac{2^{n-1}}{n}
– Örneğin bu soruda n=16 için
\frac{2^{15}}{16} = 2^{15}/2^4 = 2^{11} = 2048
4. Özet Tablo
| Kişi | İşlem | Matematiksel İfade | Sonuç |
|---|---|---|---|
| Kerem | 16 adet 2 sayısının çarpımı | 2^{16} | 65 536 |
| Nehir | 16 adet 2 sayısının toplanması | 16\times2 | 32 |
| Oran | Kerem’in / Nehir’in | \frac{2^{16}}{16\cdot2} | 2 048 |
5. Sonuç
Kerem’in gerçekleştirdiği üs alma (çarpma) işlemi, Nehir’in yaptığı toplama işlemine göre çok daha hızlı büyür.
Bu özel soruda cevap 2 048’dir:
Kerem’in sonucu, Nehir’in bulduğu sonucun 2 048 katına eşittir.